Examkin

Question

Difficulty: HardTek ve Çift Sayılar
Tam sayılar kümesinin elemanları olan aa, bb ve cc için
a⋅b+ca \cdot b + c
b⋅c+ab \cdot c + a
ifadelerinin her ikisinin de birer tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre,
I. a+b+ca + b + c
II. a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c
III. ab+bc+caa^b + b^c + c^a

ifadelerinden hangileri her zaman bir çift sayıya eşittir?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. I ve IIAnswer
  4. D
    I ve III
  5. E
    I, II ve III

Answer

Birinci ve ikinci ifadeler her zaman çift sayıdır.
Birinci ve ikinci ifadeler, bb sayısının tek veya çift olmasına bağlı her iki durumda da çift sayı sonucu verir. Üçüncü ifade ise negatif üs durumunda tam sayı belirtmeyebilir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ifadelerin teklik-çiftlik durumlarının belirlenmesi.
a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinin tek sayı ve b⋅c+ab \cdot c + a ifadesinin de tek sayı olduğu belirlenir.
Soruda bu iki ifadenin tek sayı olduğu doğrudan verilmiştir.
2
bb değişkeninin durumuna göre durum analizi yapılması.
Durum 1: Eğer bb çift sayı ise, a⋅ba \cdot b çift olur. a⋅b+ca \cdot b + c tek olduğundan cc tek sayı olmalıdır. Benzer şekilde, b⋅cb \cdot c çift olur ve b⋅c+ab \cdot c + a tek olduğundan aa tek sayı olmalıdır. Bu durumda bb çift, aa ve cc tektir.
Durum 2: Eğer bb tek sayı ise, a⋅b+ca \cdot b + c tek olduğundan a+ca + c toplamı tek olmalıdır. Bu durumda aa ve cc sayılarından biri çift, diğeri tek sayı olmak zorundadır.
Çarpım ve toplam işlemlerinde teklik ve çiftlik kurallarını incelemek amacıyla durum analizi yapılmıştır.
3
Öncüllerin her iki durum için de değerlendirilmesi.
I. a+b+ca + b + c ifadesi: Durum 1 için Tek + Çift + Tek = Çift olur. Durum 2 için a+ca+c tek ve bb tek olduğundan Tek + Tek = Çift olur. Dolayısıyla bu ifade her zaman çifttir.
II. a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c ifadesi: Durum 1'de bb çift olduğundan çarpım çifttir. Durum 2'de aa ve cc sayılarından en az biri çift olduğundan çarpım yine çifttir. Dolayısıyla bu ifade her zaman çifttir.
III. ab+bc+caa^b + b^c + c^a ifadesi: Soruda aa, bb ve cc'nin pozitif tam sayı olduğu belirtilmemiştir. Örneğin, b=−2b = -2 gibi negatif bir tam sayı seçildiğinde ifade rasyonel sayıya dönüşebilir ve tek veya çift olarak tanımlanamaz.
Her bir öncülün kesinlikle çift sayı olup olmadığını test etmek amacıyla analiz gerçekleştirilmiştir.

Key Concept

Tek ve çift tam sayılarda temel işlemler ve üslerin negatif tam sayı olabilme durumu
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Tek ve Çift Sayılar

More questions from this topic