Examkin

Question

Difficulty: Very hardBasamak Analizi ve Çözümleme
Üç basamaklı ABCABC doğal sayısı ile iki basamaklı ABAB, BCBC ve ACAC doğal sayıları için,
ABC=4⋅(AB+BC)+5⋅ACABC = 4 \cdot (AB + BC) + 5 \cdot AC
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu eşitliği sağlayan tüm ABCABC doğal sayılarının toplam�� kaçtır?

  1. A
    917
  2. 1429Answer
  3. C
    1521
  4. D
    1834
  5. E
    1946

Answer

1429
Çözümleme yapıldığında elde edilen denklem 5A=17B+4C5A = 17B + 4C şeklindedir. İki basamaklı sayı koşullarından dolayı B≠0B \neq 0 olmalıdır. Bu koşullara uygun olarak denklemi sağlayan değerler sadece ABC=512ABC = 512 ve ABC=917ABC = 917 sayılarıdır. Bu sayıların toplamı 14291429 yapmaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen sayıları basamak çözümlemesi kullanarak açalım.
ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C
AB=10A+BAB = 10A + B
BC=10B+CBC = 10B + C
AC=10A+CAC = 10A + C
Çözümleme yaparak sayılar arasındaki ilişkileri daha basit bir cebirsel denklem biçimine getirmek.
2
Çözümlenmiş ifadeleri denklemde yerine koyalım ve denklemi düzenleyelim.
100A+10B+C=4⋅((10A+B)+(10B+C))+5⋅(10A+C)100A + 10B + C = 4 \cdot ((10A + B) + (10B + C)) + 5 \cdot (10A + C)
100A+10B+C=4⋅(10A+11B+C)+50A+5C100A + 10B + C = 4 \cdot (10A + 11B + C) + 50A + 5C
100A+10B+C=40A+44B+4C+50A+5C100A + 10B + C = 40A + 44B + 4C + 50A + 5C
100A+10B+C=90A+44B+9C100A + 10B + C = 90A + 44B + 9C
10A−34B−8C=010A - 34B - 8C = 0
Eşitliğin her iki tarafındaki terimleri bir araya getirerek sade bir bağıntı elde etmek.
3
Elde edilen denklemi sadeleştirip basamak sınırlarını belirleyelim.
5A=17B+4C5A = 17B + 4C

Sayıların basamak yapısından dolayı:
- A∈{1,2,…,9}A \in \{1, 2, \dots, 9\}
- ABAB, BCBC ve ACAC iki basamaklı sayılar olduğu için A≠0A \neq 0 ve B≠0B \neq 0 olmalıdır. Dolayısıyla B∈{1,2,…,9}B \in \{1, 2, \dots, 9\} ve C∈{0,1,…,9}C \in \{0, 1, \dots, 9\} olmalıdır.
Bilinmeyenlerin alabileceği değer aralıklarını tanımlayarak deneme yanılma sürecini daraltmak.
4
BB rakamına göre olası durumları inceleyelim.
Eğer B≥3B \ge 3 ise 17B≥5117B \ge 51 olur. Ancak A≤9A \le 9 olduğundan 5A≤455A \le 45'tir. Dolayısıyla B≥3B \ge 3 için çözüm yoktur.

B=1B = 1 için:
5A=17+4C  ⟹  4C=5A−175A = 17 + 4C \implies 4C = 5A - 17
5A−175A - 17 ifadesinin 4'ün katı olması gerekir. Bu şartı sağlayan AA rakamları:
- A=5  ⟹  4C=8  ⟹  C=2A = 5 \implies 4C = 8 \implies C = 2 (Geçerli rakamlar: A=5,B=1,C=2  ⟹  ABC=512A=5, B=1, C=2 \implies ABC = 512)
- A=9  ⟹  4C=28  ⟹  C=7A = 9 \implies 4C = 28 \implies C = 7 (Geçerli rakamlar: A=9,B=1,C=7  ⟹  ABC=917A=9, B=1, C=7 \implies ABC = 917)

B=2B = 2 için:
5A=34+4C  ⟹  4C=5A−345A = 34 + 4C \implies 4C = 5A - 34
5A−345A - 34 ifadesinin 4'ün katı olması gerekir. A∈{7,8,9}A \in \{7, 8, 9\} için denediğimizde:
- A=7  ⟹  4C=1A = 7 \implies 4C = 1 (Çözüm yok)
- A=8  ⟹  4C=6A = 8 \implies 4C = 6 (Çözüm yok)
- A=9  ⟹  4C=11A = 9 \implies 4C = 11 (Çözüm yok)
Rakam kısıtlamalarını kullanarak denklemi sağlayan tüm geçerli (A,B,C)(A, B, C) üçlülerini bulmak.
5
Bulunan geçerli sayıların toplamını hesaplayalım.
Geçerli ABCABC sayıları 512512 ve 917917'dir.
512+917=1429512 + 917 = 1429
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak.

Key Concept

Basamak Analizi ve Çözümleme
Rate this question

Topics

Basamak Analizi ve Çözümleme

More questions from this topic