Examkin

Question

Difficulty: MediumArdışık Sayılar ve Toplamları

Kaan, elindeki kartları her gün bir önceki günden 1 kart fazla olacak şekilde belirli sayıda gün boyunca gruplandırmıştır. Kaan 1. gün aa tane, 2. gün a+1a+1 tane ve bu şekilde devam ederek son gün a+n−1a+n-1 tane kart gruplandırmış ve toplamda 180 kart elde etmiştir. Eğer Kaan her gün bir önceki günden 2 kart fazla olacak şekilde kartları gruplandırsaydı (yani 1. gün aa tane, 2. gün a+2a+2 tane, ..., son gün a+2n−2a+2n-2 tane), yine aynı sürede (yani nn günde) toplamda 216 kart elde edecekti. Buna göre, Kaan kartları toplam kaç gün boyunca gruplandırm��ştır?

Answer: 9 gün

Answer

Kaan kartları toplam 9 gün boyunca gruplandırmıştır.
İkinci durumda her gün bir önceki güne göre fazladan yapılan artışların toplamı, birinci durumdaki toplam artışların tam iki katıdır. Bu iki durum arasındaki fark alındığında, n(n−1)2=36\frac{n(n-1)}{2} = 36 denklemi elde edilir. Buradan n(n−1)=72n(n-1) = 72 olur ve ardışık iki sayının çarpımı şeklinde yazıldığında 9⋅8=729 \cdot 8 = 72 olduğundan toplam gün sayısı 9 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Birinci durumdaki kartların toplam sayısını veren cebirsel ifadeyi kurmak
n⋅a+n(n−1)2=180n \cdot a + \frac{n(n-1)}{2} = 180
1'den n−1n-1'e kadar olan ardışık tam sayıların toplamı n(n−1)2\frac{n(n-1)}{2} formülü ile hesaplanır.
2
İkinci durumdaki kartların toplam sayısını veren cebirsel ifadeyi kurmak
n⋅a+n(n−1)=216n \cdot a + n(n-1) = 216
2'den 2n−22n-2'ye kadar olan çift ardışık tam sayıların toplamı 2⋅n(n−1)2=n(n−1)2 \cdot \frac{n(n-1)}{2} = n(n-1) formülü ile hesaplanır.
3
İki durumu taraf tarafa çıkararak ortak terimleri yok etmek ve nn değerini hesaplamak
n=9n = 9
Elde edilen denklemlerin farkı n(n−1)2=36\frac{n(n-1)}{2} = 36 sonucunu verir. Pozitif tam sayılarda bu eşitliği sağlayan değer 9'dur.

Key Concept

Ardışık sayıların toplamı ve aritmetik dizi toplam formülleri

Alternative Method

Birinci durumda her gün eklenen fazlalıklar 0,1,2,…,n−10, 1, 2, \dots, n-1 iken ikinci durumda 0,2,4,…,2n−20, 2, 4, \dots, 2n-2'dir. Gün gün farkları aldığımızda farklar sırasıyla 0,1,2,…,n−10, 1, 2, \dots, n-1 olur. Bu farkların toplamı doğrudan iki toplamın farkına eşit olmalıdır: 0+1+2+⋯+(n−1)=216−180⇒n(n−1)2=36⇒n=90 + 1 + 2 + \dots + (n-1) = 216 - 180 \Rightarrow \frac{n(n-1)}{2} = 36 \Rightarrow n = 9 bulunur.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Ardışık Sayılar ve Toplamları

More questions from this topic