Examkin

Question

Difficulty: HardArdışık Sayılar ve Toplamları

Elemanları ardışık pozitif tam sayılardan oluşan bir kümenin elemanlarının toplamı 225'tir. Bu kümeden en küçük iki eleman ile en büyük eleman çıkarıldığında, kalan elemanların toplamı 186 olmaktadır. Buna göre, başlangıçtaki kümenin eleman sayısı kaçtır?

  1. A
    10
  2. B
    12
  3. C
    18
  4. 15Answer
  5. E
    20

Answer

Başlangıçtaki kümenin eleman sayısı 15'tir.
Doğru seçenekte belirtilen 15 sayısı, kurulan denklem sistemini tam olarak sağlamaktadır. Kümenin eleman sayısı n=15n = 15 olduğunda, ilk terim a=8a = 8 olarak bulunur. Bu durumda küme {8,9,…,22}\{8, 9, \dots, 22\} ardışık pozitif tam sayılarından oluşur ve toplamı 225'tir. Çıkarılan elemanlar 8, 9 ve 22 olup toplamları 39'dur. Kalan elemanların toplamı ise 225−39=186225 - 39 = 186 olarak doğrulanır.

Step-by-Step Solution

1
Kümenin elemanlarını ve toplamını cebirsel olarak ifade etme.
Kümenin elemanları a,a+1,…,a+n−1a, a+1, \dots, a+n-1 olsun. Toplamları S=n(2a+n−1)2=225  ⟹  n(2a+n−1)=450S = \frac{n(2a+n-1)}{2} = 225 \implies n(2a+n-1) = 450 olur.
Ardışık sayıların toplam formülünü kullanarak terim sayısı nn ve ilk terim aa cinsinden bir denklem elde etmek için.
2
Çıkarılan elemanların toplamını belirleme.
En küçük iki eleman aa ve a+1a+1, en büyük eleman ise a+n−1a+n-1'dir. Bunların toplamı a+(a+1)+(a+n−1)=3a+na + (a+1) + (a+n-1) = 3a+n olur. Kalan elemanların toplamı 186 olduğundan, çıkarılan elemanların toplamı 225−186=39225 - 186 = 39 olur. Buradan 3a+n=39  ⟹  2a=26−2n33a+n = 39 \implies 2a = 26 - \frac{2n}{3} elde edilir.
Çıkarılan elemanlar ile kalan elemanların toplamı arasındaki ilişkiden ikinci bir denklem bulmak için.
3
Elde edilen iki denklemi birleştirerek terim sayısı nn'yi bulma.
2a2a ifadesini ilk denklemde yerine yazarsak: n(26−2n3+n−1)=450  ⟹  n(25+n3)=450  ⟹  n(n+75)=1350n\left(26 - \frac{2n}{3} + n - 1\right) = 450 \implies n\left(25 + \frac{n}{3}\right) = 450 \implies n(n+75) = 1350 elde edilir.
Tek bilinmeyenli bir denklem elde edip nn değerini çözmek için.
4
İkinci derece denklemi çözme ve kümenin eleman sayısını belirleme.
n2+75n−1350=0  ⟹  (n−15)(n+90)=0n^2 + 75n - 1350 = 0 \implies (n-15)(n+90) = 0 olur. nn pozitif bir tam sayı (terim sayısı) olacağından n=15n = 15 bulunur.
Denklemin pozitif kökünü bularak başlangıçtaki kümenin eleman sayısını tespit etmek için.

Key Concept

Ardışık sayıların toplam formülü ve terim sayısı ilişkisi
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Ardışık Sayılar ve Toplamları

More questions from this topic