Examkin

Question

Difficulty: HardBasamak Analizi ve Çözümleme

Aylin, üç basamaklı bir ABCABC doğal sayısının onlar ve yüzler basamağını yer değiştirerek üç basamaklı bir XX sayısı, onlar ve birler basamağını yer değiştirerek ��ç basamaklı bir YY sayısı elde ediyor.

Aylin'in elde ettiği bu sayılar arasında,
ABC−X=180ABC - X = 180
Y−X=198Y - X = 198

bağıntıları olduğuna göre, yazılabilecek tüm ABCABC sayılarının toplamı kaçtır?

  1. A
    2526
  2. B
    3543
  3. C
    4209
  4. 4522Answer
  5. E
    4724

Answer

Koşulları sağlayan tüm üç basamaklı sayıların toplamı 4522'dir.
Çözümleme işlemleri yapıldığında A=B+2A = B + 2 ve C=B+2C = B + 2 bağıntılarına ulaşılır. Hem ABCABC hem de onlar ve yüzler basamağı yer değiştirmiş olan X=BACX = BAC sayısının üç basamaklı olabilmesi için B≥1B \ge 1 ve A≤9A \le 9 olmalıdır. Bu sınırlar dahilinde yazılabilecek sayılar 313, 424, 535, 646, 757, 868 ve 979'dur. Bu sayıların toplamı 4522 değerini verir.

Step-by-Step Solution

1
ABCABC, XX ve YY sayılarının basamak çözümlemesini yapmak
ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C
X=100B+10A+CX = 100B + 10A + C (Onlar ve yüzler basamağı yer değiştirdi)
Y=100A+10C+BY = 100A + 10C + B (Onlar ve birler basamağı yer değiştirdi)
Sayılar arasındaki farkları basamak değerlerine göre ifade etmek için çözümleme yapılmalıdır.
2
ABC−X=180ABC - X = 180 bağıntısını çöz��mlemek
(100A+10B+C)−(100B+10A+C)=180(100A + 10B + C) - (100B + 10A + C) = 180
90A−90B=180  ⟹  A−B=2  ⟹  A=B+290A - 90B = 180 \implies A - B = 2 \implies A = B + 2
Yüzler ve onlar basamaklarındaki rakamların farkını bulmak için çıkarma işlemi sadeleştirilir.
3
Y−X=198Y - X = 198 bağıntısını çözümlemek
(100A+10C+B)−(100B+10A+C)=198(100A + 10C + B) - (100B + 10A + C) = 198
90A−99B+9C=19890A - 99B + 9C = 198
Her iki taraf 9'a bölünürse:
10A−11B+C=2210A - 11B + C = 22
YY ve XX sayılarının farkını basamak değerleri yardımıyla sadeleştirmek gerekir.
4
Elde edilen denklemleri birleştirerek BB ve CC arasındaki ilişkiyi bulmak
10(B+2)−11B+C=2210(B + 2) - 11B + C = 22
10B+20−11B+C=2210B + 20 - 11B + C = 22
−B+C=2  ⟹  C=B+2-B + C = 2 \implies C = B + 2
A=B+2A = B + 2 eşitliği denklemde yerine yazılarak bilinmeyen sayısı azaltılır.
5
Üç basamaklı sayı olma koşullarını dikkate alarak rakam değerlerini belirlemek
XX ve YY sayılarının yüzler basamağındaki rakamlar sıfır olamayacağından B≠0B \neq 0 ve A≠0A \neq 0 olmalıdır. Dolayısıyla B≥1B \ge 1 olmalıdır.
BB rakamına değerler verildiğinde:
- B=1  ⟹  A=3,C=3  ⟹  ABC=313B = 1 \implies A = 3, C = 3 \implies ABC = 313
- B=2  ⟹  A=4,C=4  ⟹  ABC=424B = 2 \implies A = 4, C = 4 \implies ABC = 424
- B=3  ⟹  A=5,C=5  ⟹  ABC=535B = 3 \implies A = 5, C = 5 \implies ABC = 535
- B=4  ⟹  A=6,C=6  ⟹  ABC=646B = 4 \implies A = 6, C = 6 \implies ABC = 646
- B=5  ⟹  A=7,C=7  ⟹  ABC=757B = 5 \implies A = 7, C = 7 \implies ABC = 757
- B=6  ⟹  A=8,C=8  ⟹  ABC=868B = 6 \implies A = 8, C = 8 \implies ABC = 868
- B=7  ⟹  A=9,C=9  ⟹  ABC=979B = 7 \implies A = 9, C = 9 \implies ABC = 979
(B=8B = 8 için A=10A = 10 olur, rakam olamaz.)
AA, BB ve CC değerlerinin rakam olması ve basamak kurallarını sağlaması zorunludur.
6
Elde edilen ABCABC sayılarının toplamını hesaplamak
313+424+535+646+757+868+979=4522313 + 424 + 535 + 646 + 757 + 868 + 979 = 4522
Koşulları sağlayan tüm olası üç basamaklı sayıların toplamı bulunur.

Key Concept

Üç basamaklı doğal sayıların basamak çözümlemesi ve basamak değiştirme durumlarında değer değişimlerinin cebirsel modellenmesi.
Rate this question

Topics

Basamak Analizi ve Çözümleme

More questions from this topic