Examkin

Question

Difficulty: MediumArdışık Sayılar ve Toplamları

Bir tahtada ardışık 5 çift tam sayı yazılıdır. Bu sayılardan en küçüğü silinip yerine tahtada kalan diğer sayıların toplamı yazıldığında, tahtadaki sayıların yeni toplamı ilk toplamdan 50 fazla olmaktadır.

Buna göre, başlangıçta tahtada yazılı olan en büyük sayı kaçtır?

  1. A
    10
  2. B
    14
  3. C
    16
  4. 18Answer
  5. E
    22

Answer

Başlangıçtaki en büyük sayı 18'dir.
En küçük terim aa olmak üzere, ardışık 5 çift sayı a,a+2,a+4,a+6,a+8a, a+2, a+4, a+6, a+8 şeklinde yazılır. Bu sayıların toplamı 5a+205a+20 olur. En küçük sayı olan aa silinip yerine kalan 4 sayının toplamı olan 4a+204a+20 yazıld��ğında, tahtadaki sayıların yeni toplamı 2(4a+20)=8a+402(4a+20) = 8a+40 olur. İki toplam arasındaki fark (8a+40)−(5a+20)=3a+20(8a+40) - (5a+20) = 3a+20 olup bu değer 50'ye eşitlendiğinde a=10a=10 bulunur. Başlangıçtaki en büyük sayı a+8=18a+8 = 18 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Ardışık 5 çift tam sayıyı cebirsel olarak ifade edip ilk durumdaki toplamı bulalım.
En küçük sayı aa olsun. Sayılar sırasıyla aa, a+2a+2, a+4a+4, a+6a+6 ve a+8a+8 olur. İlk durumdaki toplam S1=a+(a+2)+(a+4)+(a+6)+(a+8)=5a+20S_1 = a + (a+2) + (a+4) + (a+6) + (a+8) = 5a + 20 olarak elde edilir.
Ardışık çift sayılar ikişer ikişer artar. Bu sayede sayıları tek bir değişken cinsinden yazıp ilk toplamı hesaplayabiliriz.
2
En küçük sayı silindikten sonra kalan sayıların toplamını ve tahtadaki yeni toplamı bulalım.
En küçük sayı olan aa silindiğinde kalan sayılar a+2a+2, a+4a+4, a+6a+6 ve a+8a+8 olur. Bu sayıların toplamı Se=(a+2)+(a+4)+(a+6)+(a+8)=4a+20S_e = (a+2) + (a+4) + (a+6) + (a+8) = 4a + 20 olur. Tahtaya aa yerine bu toplam yazıldığı için, yeni durumdaki sayıların toplamı S2=Se+Se=2⋅(4a+20)=8a+40S_2 = S_e + S_e = 2 \cdot (4a + 20) = 8a + 40 olur.
Yeni durumda tahtadaki sayılar, kalan 4 sayı ile bu 4 say��nın toplamından oluşmaktadır.
3
İki toplam arasındaki farkı 50'ye eşitleyerek en küçük sayı olan aa'yı bulalım ve ardından en büyük sayıyı hesaplayalım.
Yeni toplam ile ilk toplam arasındaki fark: S2−S1=(8a+40)−(5a+20)=3a+20S_2 - S_1 = (8a + 40) - (5a + 20) = 3a + 20 olur. Bu fark 50'ye eşit olduğuna göre: 3a+20=50  ⟹  3a=30  ⟹  a=103a + 20 = 50 \implies 3a = 30 \implies a = 10 bulunur. Başlangıçtaki en büyük sayı a+8=10+8=18a+8 = 10+8 = 18 olarak hesaplanır.
Sayıların toplamındaki artış miktarı verilmiştir. Bu bilgiyi kullanarak bilinmeyeni çözebiliriz.

Key Concept

Ardışık çift sayıların cebirsel olarak ifade edilmesi ve terimler toplamı formülleri.

Alternative Method

Sayıların ortanca terimi üzerinden de çözüm yapılabilir. Ortanca terim xx olsun. Sayılar x−4,x−2,x,x+2,x+4x-4, x-2, x, x+2, x+4 olur. Bu durumda ilk toplam 5x5x olur. En küçük sayı x−4x-4 silinip yerine kalanların toplamı olan 4x+44x+4 yazıldığında yeni toplam 2(4x+4)=8x+82(4x+4) = 8x+8 olur. Aradaki fark (8x+8)−5x=3x+8=50  ⟹  3x=42  ⟹  x=14(8x+8) - 5x = 3x+8 = 50 \implies 3x = 42 \implies x = 14 bulunur. En büyük sayı x+4=14+4=18x+4 = 14+4 = 18 elde edilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Ardışık Sayılar ve Toplamları

More questions from this topic