Examkin

Question

Difficulty: HardBirinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

Hakan, her birinin kütlesi kilogram cinsinden birer tam sayı olan özdeş 8 adet koli taşıyacaktır. Hakan bu kolileri taşımak için boş kütlesi 12 kg olan bir el arabası kullanmaktadır. El arabasıyla tek seferde taşınan toplam kütle (el arabası ve o seferde taşınan kolilerin kütleleri toplamı):

* 60 kg'dan fazla olduğunda el arabasının tekerleği zarar görmekte,
* 35 kg veya daha az olduğunda ise el arabası dengede duramamaktadır.

Hakan bu 8 koliyi, her seferinde eşit sayıda koli taşımak şartıyla, tekerleğe zarar vermeden ve dengeyi bozmadan en az nn seferde taşıyabilmektedir.

n=4n = 4 olduğuna göre, bir kolinin kütlesinin alabileceği en küçük tam sayı değeri ile en büyük tam sayı değerinin toplamı kaçtır?

Answer: 37

Answer

37
Doğru cevap 37'dir. 8 adet özdeş kolinin eşit sayıda taşınabileceği sefer sayıları 8'in bölenleri olan 1, 2, 4 ve 8'dir. Güvenli taşıma için her bir seferdeki toplam kütlenin 35 kg'dan büyük ve en fazla 60 kg olması gerekir. En az 4 seferde taşınabildiği için 4 sefer yapıldığında (sefer başına 2 koli) güvenli taşıma aralığı olan 35<12+2x≤6035 < 12 + 2x \le 60 sağlanır ve buradan 11,5<x≤2411,5 < x \le 24 elde edilir. Ancak en az 4 sefer gerektiğinden, 2 sefer yapıldığında (sefer başına 4 koli) taşıma işlemi güvenli olmamalıdır. x>11,5x > 11,5 için 12+4x>58>3512 + 4x > 58 > 35 olduğu için bu durumun güvensiz olması ancak tekerleğin zarar görmesiyle yani 12+4x>6012 + 4x > 60 olmasıyla mümkündür. Buradan x>12x > 12 elde edilir. Bu iki sınır birleştirildiğinde bir kolinin kütlesi 12<x≤2412 < x \le 24 aralığında olmalıdır. Bu aralıktaki en küçük tam sayı kütlesi 13 kg, en büyük tam sayı kütlesi ise 24 kg olup toplamları 37'dir.

Step-by-Step Solution

1
Sefer sayısının alabileceği değerleri belirleme
Koliler her seferde eşit sayıda taşınacağından sefer sayısı 8'in pozitif tam sayı bölenleri olan d∈{1,2,4,8}d \in \{1, 2, 4, 8\} kümesinin elemanları olabilir.
Toplam 8 adet koliyi eşit gruplara ayırarak taşıyabilmek için grup sayısının 8'i tam bölmesi gerekir.
2
Sefer sayısına bağlı toplam kütle formülünü oluşturma
dd sefer yapıldığında her seferde taşınan koli sayısı 8d\frac{8}{d} olur. Bu durumda bir seferdeki toplam kütle W=12+8d⋅xW = 12 + \frac{8}{d} \cdot x kg olarak ifade edilir.
Toplam kütle, boş el arabasının kütlesi (12 kg) ile o seferde taşınan kolilerin kütleleri toplamının toplamıdır.
3
Taşımanın güvenli olma şartını eşitsizlik olarak yazma
Güvenli taşıma için 35<12+8d⋅x≤6035 < 12 + \frac{8}{d} \cdot x \le 60 olmalıdır. Buradan 23<8d⋅x≤4823 < \frac{8}{d} \cdot x \le 48 eşitsizliği elde edilir.
Soruda el arabasının zarar görmemesi için toplam kütlenin en fazla 60 kg, dengede kalabilmesi için ise 35 kg'dan fazla olması gerektiği belirtilmiştir.
4
n=4n = 4 için geçerli olan eşitsizliği çözme
d=4d = 4 için taşıma güvenlidir. 23<84⋅x≤48  ⟹  23<2x≤48  ⟹  11,5<x≤2423 < \frac{8}{4} \cdot x \le 48 \implies 23 < 2x \le 48 \implies 11,5 < x \le 24 elde edilir.
En az 4 seferde taşınabilmesi, 4 seferlik taşıma düzeninin güvenli çalışma aralığında olduğunu gösterir.
5
Daha az sefer sayılarının limit dışı kalma şartını uygulama
d=2d = 2 durumunda taşıma güvenli olmamalıdır. 12+4x>60  ⟹  4x>48  ⟹  x>1212 + 4x > 60 \implies 4x > 48 \implies x > 12 elde edilir.
Eğer 2 seferde taşımak güvenli olsaydı, minimum sefer sayısı 4 değil 2 olurdu. Dolayısıyla d=2d=2 için toplam kütle 60 kg sınırını aşmalıdır.
6
Eşitsizlikleri birleştirme ve sınır tam sayı değerlerini toplama
12<x≤2412 < x \le 24 aralığı elde edilir. Bu aralıktaki en küçük tam sayı x=13x = 13, en büyük tam sayı ise x=24x = 24 olup toplamları 13+24=3713 + 24 = 37 olarak hesaplanır.
Hem x>12x > 12 hem de x≤24x \le 24 şartlarını sağlayan sınır tam sayı değerleri bulunur ve toplanır.

Key Concept

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler
Rate this question

Topics

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

More questions from this topic