Examkin

Question

Difficulty: Very hardFaktöriyel Kavramı

a, b ve c pozitif tam sayılardır.

a!⋅b!=a!+b!+c!a! \cdot b! = a! + b! + c!

olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Answer: 10

Answer

Pozitif tam sayıların toplamı 10'dur.
Denklemin tek pozitif tam sayı çözümü a=3a=3, b=3b=3 ve c=4c=4 değerleridir. Bu değerlerin toplamı 3+3+4=103+3+4=10 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen denklemi düzenleyelim ve pozitif tam sayı koşulunu inceleyelim.
a!⋅b!−a!−b!=c!a! \cdot b! - a! - b! = c! ifadesini elde ederiz.
Denklemi analiz etmek için terimleri bir araya topluyoruz.
2
a değişkeninin k��çük değerleri için denklemi inceleyelim.
a = 1 için çözüm yoktur. a = 2 için b!−2=c!b! - 2 = c! olur; b≥3b \ge 3 için b!b! sayısı 3 ile bölünürken c!+2c! + 2 say��sı 3 ile bölünmez. Dolayısıyla a = 2 için çözüm yoktur.
Değişkenlerin alabileceği değer aralıklarını sınırlamak amacıyla.
3
a = 3 durumunu inceleyelim.
3!⋅b!=3!+b!+c!  ⟹  6b!=6+b!+c!  ⟹  5b!−6=c!3! \cdot b! = 3! + b! + c! \implies 6b! = 6 + b! + c! \implies 5b! - 6 = c! elde edilir. Burada b=3b = 3 seçilirse 5⋅6−6=24=c!  ⟹  c!=4!  ⟹  c=45 \cdot 6 - 6 = 24 = c! \implies c! = 4! \implies c = 4 bulunur.
a = 3 için olası b ve c değerlerini tespit etmek için.
4
Elde edilen tek çözümü kullanarak toplamı hesaplayalım.
a=3a = 3, b=3b = 3 ve c=4c = 4 değerleri için a+b+c=3+3+4=10a + b + c = 3 + 3 + 4 = 10 olur.
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak için.

Key Concept

Faktöriyel kavramı, faktöriyelli denklemlerin değer analizi ve asal çarpanlar yardımıyla çözülmesi.
Rate this question

Topics

Faktöriyel Kavramı

More questions from this topic