Examkin

Question

Difficulty: HardTek ve Çift Sayılar
aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,
a2+ba^2 + b
ifadesinin bir çift sayıya,
b2+cb^2 + c
ifadesinin ise bir tek sayıya eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre,
I. a+ba + b
II. a⋅c+ba \cdot c + b
III. bc+ab^c + a

ifadelerinden hangileri her zaman bir çift sayıdır?

  1. Yalnız IAnswer
  2. B
    Yalnız II
  3. C
    I ve II
  4. D
    I ve III
  5. E
    I, II ve III

Answer

Yalnız I
Verilen bilgilere göre, aa ve bb tam sayılarının teklik-çiftlik durumları aynıdır. Dolayısıyla, her iki durumda da (ikisi de çift veya ikisi de tek olduğunda) toplamları olan a+ba + b her zaman çift sayıdır. Bu nedenle sadece birinci öncül her zaman çift sayıdır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ifadelerin teklik-çiftlik durumlarını analiz etmek.
aa ile bb aynı teklik-çiftlik karakterine sahipken, bb ile cc zıt karakterdedir.
a2+ba^2 + b toplamının çift olması için a2a^2 ile bb aynı karakterde olmalıdır. b2+cb^2 + c toplamının tek olması için b2b^2 ile cc zıt karakterde olmalıdır. Herhangi bir xx tam sayısı için x2x^2 ile xx aynı teklik-çiftlik özelliğine sahiptir.
2
Değişkenlerin alabileceği olası durumları belirlemek.
Olası durumlar: 1) aa çift, bb çift, cc tek; 2) aa tek, bb tek, cc çift.
Bir önceki adımdaki karakter eşleşmelerine göre değişken pariteleri bu iki durumu oluşturur.
3
Birinci öncülü (a+ba+b) değerlendirmek.
a+ba+b ifadesi her zaman çift sayıdır.
aa ve bb aynı karakterde olduğundan (çift+çift veya tek+tek), toplamları her zaman çift sayı olur.
4
İkinci öncülü (a⋅c+ba \cdot c + b) değerlendirmek.
a⋅c+ba \cdot c + b ifadesi tek sayı olabilir.
İkinci durumda (aa tek, bb tek, cc çift) a⋅c+b=tek⋅c¸ift+tek=c¸ift+tek=teka \cdot c + b = \text{tek} \cdot \text{çift} + \text{tek} = \text{çift} + \text{tek} = \text{tek} olur. Dolayısıyla her zaman çift sayı değildir.
5
Üçüncü öncülü (bc+ab^c + a) değerlendirmek.
bc+ab^c + a ifadesi her zaman çift sayı olmak zorunda değildir, tam sayı bile olmayabilir.
a,b,ca, b, c tam sayı olduğundan cc negatif olabilir. Örneğin a=5a=5, b=3b=3, c=−2c=-2 için 3−2+5=46/93^{-2} + 5 = 46/9 olur ve bu bir tam sayı olmadığından teklik-çiftlik belirtmez.

Key Concept

Tek ve çift tam sayıların özellikleri, üslü ifadelerde taban ve üs ilişkileri.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Tek ve Çift Sayılar

More questions from this topic