Examkin

Question

Difficulty: HardTek ve Çift Sayılar

aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,

* a2+3a+ba^2 + 3a + b ifadesinin bir çift sayı,
* b2−b+cb^2 - b + c ifadesinin bir tek sayı

olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

  1. A
    a⋅b+ca \cdot b + c
  2. B
    a⋅c+ba \cdot c + b
  3. C
    ac+ba^c + b
  4. b⋅(a+c)b \cdot (a + c)Answer
  5. E
    ca+bc^a + b

Answer

b \cdot (a + c) ifadesi her zaman bir çift sayıdır.
b sayısının çift olduğu, c sayısının tek olduğu ve a'nın paritesinin belirsiz olduğu tespit edilmiştir. b çift bir sayı olduğundan, herhangi bir tam sayı ile çarpımı olan b \cdot (a + c) ifadesi daima bir çift tam sayıdır.

Step-by-Step Solution

1
Birinci ifadenin analiz edilmesi
b sayısının çift oldu��u belirlenir.
a bir tam sayı olmak üzere, a^2 + 3a = a(a + 3) ifadesi ardışık karakterli iki sayının çarpımı mantığına dayanır. a tek ise a+3 çift, a çift ise a+3 tek olduğundan, bu çarpım her durumda çifttir. Çift bir sayıya b eklendiğinde sonuç çift olduğuna göre b sayısı kesinlikle çifttir. Bu aşamada a'nın tekliği veya çiftliği hakkında kesin bir bilgi elde edilemez.
2
İkinci ifadenin analiz edilmesi
c sayısının tek olduğu belirlenir.
b^2 - b = b(b - 1) ifadesi ardışık iki tam sayının çarpımı olduğundan her zaman çifttir. Çift bir sayıya c eklendiğinde sonuç tek sayı olduğuna göre c sayısı kesinlikle tektir.
3
Seçeneklerin kontrol edilmesi
b \cdot (a + c) ifadesinin her zaman çift sayı olduğu görülür.
b sayısının çift tam sayı olduğu kanıtlanmıştır. a ve c birer tam sayı olduğundan toplamları olan a + c de bir tam sayıdır. Çift bir tam sayı ile bir tam sayının çarpımı her zaman çift sayı olacağından b \cdot (a + c) ifadesinin sonucu daima çifttir. Diğer seçeneklerde ise a sayısının paritesinin bilinmemesi veya negatif üs durumunda ifadenin tam sayı olmama ihtimali (rasyonel sayı olması) nedeniyle kesinlik sağlanamaz.

Key Concept

Tam sayılarda tek ve çift sayıların özellikleri, ardışık sayıların çarpımının paritesi ve üs işlemlerinde taban/üs tam sayı koşulları.
Rate this question

Topics

Tek ve Çift Sayılar

More questions from this topic