Examkin

Question

Difficulty: Mediumİkinci Dereceden Denklemlerin Çözüm Yöntemleri
x2−4x+6x2−4x+5=0x^2 - 4x + \frac{6}{x^2 - 4x + 5} = 0 denklemini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Answer: 4

Answer

Denklemi sağlayan x tam sayılarının toplamı 4'tür.
Verilen denklemde x2−4x=tx^2 - 4x = t dönüşümü yapılıp payda eşitlendiğinde t2+5t+6=0t^2 + 5t + 6 = 0 elde edilir. Bu denklemin kökleri t=−2t = -2 ve t=−3t = -3 olarak bulunur. Dönüşüm geri uygulandığında x2−4x=−2x^2 - 4x = -2 denkleminin kökleri tam sayı çıkmazken, x2−4x=−3x^2 - 4x = -3 denkleminin kökleri olan 11 ve 33 tam sayılardır. Bu tam sayıların toplamı 44 değerini verir.

Step-by-Step Solution

1
x2−4x=tx^2 - 4x = t dönüşümü yapılarak denklem sadeleştirilir.
t+6t+5=0t + \frac{6}{t+5} = 0 denklemi elde edilir.
Dördüncü dereceden bir denklemi çözülebilir kılmak amacıyla değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
2
t+6t+5=0t + \frac{6}{t+5} = 0 denkleminde payda eşitlenir.
t2+5t+6=0t^2 + 5t + 6 = 0 ve t≠−5t \neq -5 şartı elde edilir.
Rasyonel ifadeden kurtulup ikinci dereceden tek bir denklem elde etmek için payda eşitlenir.
3
t2+5t+6=0t^2 + 5t + 6 = 0 denklemi çarpanlarına ayrılır.
t=−2t = -2 ve t=−3t = -3 değerleri bulunur.
İkinci dereceden denklemin köklerini bulmak için çarpanlara ayırma yöntemi kullanılır.
4
tt değerleri yerine yazılarak xx değişkenine bağlı denklemler çözülür.
x2−4x+2=0x^2 - 4x + 2 = 0 denkleminin kökleri tam sayı değildir; x2−4x+3=0x^2 - 4x + 3 = 0 denkleminin kökleri x=1x = 1 ve x=3x = 3 tam sayılarıdır.
Orijinal bilinmeyen olan xx değerlerini ve bu değerlerin tam sayı olma durumlarını belirlemek için dönüşüm geri uygulanır.
5
Elde edilen tam sayı kökleri toplanır.
1+3=41 + 3 = 4 sonucu elde edilir.
Soru kökündeki koşulu sağlayan köklerin toplamına ulaşmak amacıyla bu toplama işlemi gerçekleştirilir.

Key Concept

Değişken değiştirme yöntemiyle ikinci dereceden denklemlere indirgenebilen denklemlerin çözümü.
Rate this question

Topics

İkinci Dereceden Denklemlerin Çözüm Yöntemleri