Examkin

Question

Difficulty: HardBasamak Analizi ve Çözümleme

İki basamaklı ABAB doğal sayısı, rakamlarının çarpımının 2 katı ile onlar basamağındaki rakamın 4 katının toplamına eşittir.

Buna göre, bu koşulu sağlayan ABAB sayılarının toplamı kaçtır?

  1. A
    24
  2. 40Answer
  3. C
    52
  4. D
    67
  5. E
    70

Answer

Koşulu sağlayan iki basamaklı sayılar 16 ve 24 olup, bu sayıların toplamı 40'tır.
Çözümleme adımları takip edildiğinde denklemi sağlayan iki basamaklı sayılar yalnızca 16 ve 24 olarak bulunur. Bu sayıların toplamı ise 40 değerini verir.

Step-by-Step Solution

1
İki basamaklı ABAB doğal sayısı için basamak çözümlemesi yapılır.
AB=10A+BAB = 10A + B ifadesi elde edilir.
Sayının basamak değerlerini matematiksel eşitliğe dökmek amacıyla bu çözümleme yapılır.
2
Soruda verilen koşul denklem şeklinde yazılır.
10A+B=2AB+4A10A + B = 2AB + 4A denklemi kurulur.
Sayının kendisinin, rakamlar çarpımının 2 katı ile onlar basamağının 4 katının toplamına eşit olduğu belirtilmiştir.
3
Elde edilen denklem düzenlenerek sadeleştirilir.
6A+B=2AB6A + B = 2AB haline getirilir.
Denklemin her iki tarafından 4A4A ifadesi çıkarılarak daha sade bir form elde edilir.
4
Denklem 2A2A ifadesini yalnız bırakacak şekilde düzenlenir.
B=2AB−6A  ⟹  B=2A(B−3)  ⟹  2A=BB−3B = 2AB - 6A \implies B = 2A(B - 3) \implies 2A = \frac{B}{B - 3} eşitliği elde edilir.
AA ve BB değişkenlerinin alabileceği rakam değerlerini daha kolay analiz edebilmek için değişkenler ayrıştırılır.
5
2A2A ifadesinin tam sayı olması ve A,BA, B değerlerinin rakam olması koşulu kullanılarak değer analizi yapılır.
B−3B - 3 ifadesi 3 sayısının pozitif bir böleni olmalıdır. Buradan B−3=1  ⟹  B=4B - 3 = 1 \implies B = 4 için A=2A = 2 (AB=24AB = 24) ve B−3=3  ⟹  B=6B - 3 = 3 \implies B = 6 için A=1A = 1 (AB=16AB = 16) bulunur.
AA ve BB birer rakamdır. Ayrıca ABAB iki basamaklı sayı olduğundan A≠0A \neq 0 olmalıdır. Negatif bölen durumlarında AA değeri negatif veya sıfır çıktığı için elenir.
6
Koşulu sağlayan tüm ABAB sayılarının toplamı hesaplanır.
16+24=4016 + 24 = 40 bulunur.
Soru kökünde bizden istenen durum tüm olası sayıların toplamını bulmaktır.

Key Concept

İki basamaklı sayıların çözümlenmesi ve rakam kısıtlamalarına göre değer analizi yapılması.
Rate this question

Topics

Basamak Analizi ve Çözümleme

More questions from this topic