Examkin

Question

Difficulty: MediumBirinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler
Bir kimya laboratuvarındaki deney tüpünün sıcaklığı xx °C olup bu sıcaklık değeri
5≤11−2x<155 \le 11 - 2x < 15
eşitsizliğini sağlamaktadır.

Aynı laboratuvarda bulunan AA, BB ve CC maddelerinin sıcaklıkları sırasıyla;
* a=11−3xa = 11 - 3x °C
* b=16−xb = 16 - x °C
* c=x+21c = x + 21 °C
olarak tanımlanmıştır.

Buna göre; aa, bb ve cc sıcaklık değerlerini en düşükten en yükseğe (küçükten büyüğe) doğru sıralayınız.

  1. 1aa sıcaklık değeri (a=11−3xa = 11 - 3x)
  2. 2bb sıcaklık değeri (b=16−xb = 16 - x)
  3. 3cc sıcaklık değeri (c=x+21c = x + 21)

Answer

a < b < c (sırasıyla a, b ve c)
Verilen eşitsizlik çözüldüğünde −2-2 ile bölme işlemi nedeniyle yön değiştirilir ve −2<x≤3-2 < x \le 3 aralığı elde edilir. aa, bb ve cc değerleri arasındaki farklar incelendiğinde b−a=2x+5b - a = 2x + 5 ve c−b=2x+5c - b = 2x + 5 bulunur. x>−2x > -2 için 2x+5>02x + 5 > 0 olduğundan, b−a>0b - a > 0 ve c−b>0c - b > 0 eşitsizlikleri her zaman sağlanır. Buradan a<ba < b ve b<cb < c olduğu görülür ve en düşükten en yükseğe doğru sıralama sırasıyla aa, bb ve cc olarak belirlenir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen eşitsizlik çözülerek xx değişkeninin değer aralığı belirlenir.
5≤11−2x<155 \le 11 - 2x < 15 eşitsizliğinin her tarafından 1111 ��ıkarılırsa −6≤−2x<4-6 \le -2x < 4 elde edilir. Eşitsizliğin her iki tarafı −2-2 ile bölündüğünde negatif bir sayıya bölündüğü için eşitsizlik yön değiştirir ve 3≥x>−2  ⟹  −2<x≤33 \ge x > -2 \implies -2 < x \le 3 aralığı bulunur.
xx gerçel sayısının doğru değer aralığını bulmak, aa, bb ve cc ifadelerini karşılaştırmanın temel adımıdır.
2
aa, bb ve cc değerleri arasındaki farklar cebirsel olarak hesaplanır.
b−a=(16−x)−(11−3x)=2x+5b - a = (16 - x) - (11 - 3x) = 2x + 5
c−b=(x+21)−(16−x)=2x+5c - b = (x + 21) - (16 - x) = 2x + 5
bağıntıları elde edilir.
İki ifadenin büyüklük ilişkisini belirlemek için farklarının işaretini incelemek en güvenilir cebirsel yöntemdir.
3
xx aralığı kullanılarak farkların işareti incelenir ve doğru sıralama oluşturulur.
x>−2x > -2 olduğu için, 2x>−4  ⟹  2x+5>1>02x > -4 \implies 2x + 5 > 1 > 0 elde edilir. Buradan hem b−a>0b - a > 0 (yani b>ab > a) hem de c−b>0c - b > 0 (yani c>bc > b) olduğu görülür. Dolayısıyla a<b<ca < b < c sıralaması kesinleşir.
Elde edilen farkların pozitif olduğu kanıtlandığında, büyüklük sıralaması kesin olarak kurulmuş olur.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde negatif sayı ile çarpma veya bölme durumunda eşitsizliğin yön değiştirmesi kuralı ve eşitsizlik ifadelerinin karşılaştırılması.

Alternative Method

xx gerçel sayısı için bulunan −2<x≤3-2 < x \le 3 aralığından pratiklik amacıyla kolay bir tam sayı değeri (örneğin x=0x = 0 veya x=2x = 2) seçilerek aa, bb ve cc değerleri hesaplanabilir. Örneğin x=0x = 0 için a=11a = 11, b=16b = 16, c=21c = 21 bulunur ve 11<16<2111 < 16 < 21 olduğundan a<b<ca < b < c sıralaması pratik yoldan elde edilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

More questions from this topic