Examkin

Question

Difficulty: HardBasamak Analizi ve Çözümleme
Üç basamaklı bir ABCABC doğal sayısı ile iki basamaklı ABAB ve BCBC doğal sayıları için,
ABC−(AB+BC)=266ABC - (AB + BC) = 266
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, rakamları farklı bu koşulu sağlayan tüm ABCABC doğal sayılarının toplamı kaçtır?

  1. A
    2418
  2. 2758Answer
  3. C
    3101
  4. D
    3102
  5. E
    3445

Answer

Rakamları farklı koşulunu sağlayan tüm ABC doğal sayılarının toplamı 2758'dir.
Denklem çözümlendiğinde 90A−B=26690A - B = 266 bağıntısı elde edilir. Rakam değer kısıtlamalarına göre bu eşitliği sağlayan tek çift A=3A=3 ve B=4B=4'tür. C rakamı sadeleştiği için serbesttir ancak sayının rakamlarının farklı olması istendiğinden C, 3 ve 4 değerlerini alamaz. Geriye kalan 8 farklı rakam değeri kullanılarak yazılan sayıların toplamı 2758 değerini verir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitlikteki sayıları basamak çözümlemesi yöntemiyle açalım.
ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C, AB=10A+BAB = 10A + B ve BC=10B+CBC = 10B + C olarak yazılır.
Harfli ifadelerle verilen sayılar�� basamak değerlerine ayırarak cebirsel olarak sadeleştirmek için çözümleme yapılır.
2
Çözümlediğimiz ifadeleri denklemde yerine yazarak gerekli sadeleştirmeleri yapalım.
(100A+10B+C)−(10A+B+10B+C)=266(100A + 10B + C) - (10A + B + 10B + C) = 266
(100A+10B+C)−(10A+11B+C)=266(100A + 10B + C) - (10A + 11B + C) = 266
90A−B=26690A - B = 266 elde edilir.
Denklemin sol tarafındaki parantez içi toplamı yapıldıktan sonra çıkarma işlemi uygulanarak C değişkeninin sadeleştiği görülür.
3
Elde edilen denklemde A ve B değerlerinin rakam olması koşulunu kullanarak uygun değerleri bulalım.
90A−B=266  ⟹  B=90A−26690A - B = 266 \implies B = 90A - 266 olur. BB bir rakam olduğundan 0≤B≤90 \le B \le 9 olmalıdır. Buradan 266≤90A≤275266 \le 90A \le 275 eşitsizliğinden tek uygun değer A=3A = 3 olarak bulunur. A=3A = 3 için B=4B = 4 elde edilir.
Basamak analizinde harfler rakamları temsil ettiğinden değer aralığı kısıtı kullanılarak değişkenlerin tekil değerleri belirlenir.
4
Denklemde sadeleşen C rakamının alabileceği değerleri rakamları farklı olma koşuluna göre belirleyelim.
A=3A = 3 ve B=4B = 4 olduğundan C∉{3,4}C \notin \{3, 4\} olmalıdır. Dolayısıyla CC rakamı {0,1,2,5,6,7,8,9}\{0, 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9\} kümesinden seçilebilir.
Soruda verilen 'rakamları farklı' koşulu uyarınca, bulunan A ve B rakamlarının C rakamı olarak tekrar kullanılamayacağı belirlenir.
5
Belirlenen tüm ABC sayılarını yazıp toplayalım.
Oluşabilecek sayılar 340,341,342,345,346,347,348,349340, 341, 342, 345, 346, 347, 348, 349 olmak üzere 8 tanedir. Toplamları:
340+341+342+345+346+347+348+349=2758340 + 341 + 342 + 345 + 346 + 347 + 348 + 349 = 2758 olarak hesaplanır.
Koşulları sağlayan tüm sayıların toplamını bulmak için basamak yapısı korunan bu sayılar toplanır.

Key Concept

Basamak Analizi ve Çözümleme
Rate this question

Topics

Basamak Analizi ve Çözümleme

More questions from this topic