Examkin

Question

Difficulty: MediumArdışık Sayılar ve Toplamları

Bir nn pozitif tam sayısı için üç farklı sayı grubunun terimleri ve bu terimlerin toplamları aşağıda tanımlanmıştır:

* AA: 2n2n sayısı ile başlayan nn tane ardışık pozitif çift tam sayının toplamı,
* BB: 2n−12n-1 sayısı ile başlayan nn tane ardışık pozitif tek tam sayının toplamı,
* CC: nn sayısı ile başlayan 2n2n tane ardışık pozitif tam sayının toplamı.

Buna göre; AA, BB ve CC toplamlarını en küçükten en büyüğe doğru sıralayınız.

  1. 1BB toplamı
  2. 2AA toplamı
  3. 3CC toplamı

Answer

Küçükten büyüğe doğru doğru sıralama B, A, C şeklindedir.
B toplamının değeri 3n2−2n3n^2 - 2n, A toplamının değeri 3n2−n3n^2 - n ve C toplamının değeri 4n2−n4n^2 - n olarak bulunur. Her nn pozitif tam sayısı için bu değerler karşılaştırıldığında en küçük değerin B toplamı, ortanca değerin A toplamı ve en büyük değerin C toplamı olduğu görülür. Dolayısıyla doğru sıralama B, A, C şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1
AA toplamının cebirsel ifadesini bulunuz.
A=3n2−nA = 3n^2 - n
2n2n ile başlayan nn tane ardışık çift tam sayı sırasıyla 2n,2n+2,2n+4,…,2n+2(n−1)2n, 2n+2, 2n+4, \dots, 2n+2(n-1) şeklindedir. Son terim 4n−24n-2 olur. Terimler toplamı formülünden: A=2n+(4n−2)2⋅n=(3n−1)n=3n2−nA = \frac{2n + (4n-2)}{2} \cdot n = (3n-1)n = 3n^2-n elde edilir.
2
BB toplamının cebirsel ifadesini bulunuz.
B=3n2−2nB = 3n^2 - 2n
2n−12n-1 ile başlayan nn tane ardışık tek tam sayı sırasıyla 2n−1,2n+1,2n+3,…,2n−1+2(n−1)2n-1, 2n+1, 2n+3, \dots, 2n-1+2(n-1) şeklindedir. Son terim 4n−34n-3 olur. Terimler toplamı formülünden: B=(2n−1)+(4n−3)2⋅n=(3n−2)n=3n2−2nB = \frac{(2n-1) + (4n-3)}{2} \cdot n = (3n-2)n = 3n^2-2n elde edilir.
3
CC toplamının cebirsel ifadesini bulunuz.
C=4n2−nC = 4n^2 - n
nn ile başlayan 2n2n tane ardışık tam sayı sırasıyla n,n+1,n+2,…,n+(2n−1)n, n+1, n+2, \dots, n+(2n-1) şeklindedir. Son terim 3n−13n-1 olur. Terimler toplamı formülünden: C=n+(3n−1)2⋅2n=(4n−1)n=4n2−nC = \frac{n + (3n-1)}{2} \cdot 2n = (4n-1)n = 4n^2-n elde edilir.
4
Elde edilen toplamları karşılaştırarak sıralayınız.
B<A<CB < A < C
nn pozitif bir tam sayı olduğundan, 3n2−2n<3n2−n3n^2 - 2n < 3n^2 - n eşitsizliği daima doğrudur (çünkü −2n<−n-2n < -n). Benzer şekilde 3n2−n<4n2−n3n^2 - n < 4n^2 - n eşitsizliği de daima doğrudur (çünkü 3n2<4n23n^2 < 4n^2). Bu durumda sıralama B<A<CB < A < C olarak belirlenir.

Key Concept

Ardışık Sayıların Toplam Formülleri ve Cebirsel Sıralama

Alternative Method

nn değişkenine somut bir değer vererek sıralama kolayca test edilebilir. Örneğin n=2n = 2 seçilirse: A toplamı 4 ile başlayan 2 ardışık çift sayı olan 4+6=104+6 = 10 olur. B toplamı 3 ile başlayan 2 ardışık tek sayı olan 3+5=83+5 = 8 olur. C toplamı 2 ile başlayan 4 ardışık sayı olan 2+3+4+5=142+3+4+5 = 14 olur. Buradan 8<10<148 < 10 < 14 olduğundan B<A<CB < A < C sıralaması pratik bir şekilde doğrulanmış olur.
Estimated Time:1m 40s
Rate this question

Topics

Ardışık Sayılar ve Toplamları

More questions from this topic