Examkin

Question

Difficulty: MediumAçık Önermeler ve Niceleyiciler

Tam sayılar kümesi Z\mathbb{Z} üzerinde tanımlı

p(x,y):"x2+y2≤5"p(x, y): "x^2 + y^2 \leq 5"

açık önermesinin doğruluk kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Answer: 21

Answer

Açık önermeyi sağlayan 21 farklı (x, y) tam sayı ikilisi vardır.
Verilen açık önermeyi doğru yapan (x,y)(x, y) tam sayı ikililerinin sayısı, x2+y2≤5x^2 + y^2 \leq 5 eşitsizliğini sağlayan tüm tam sayı çiftlerinin bulunmasıyla elde edilir. Bu çiftler tek tek incelendiğinde 21 farklı ikili olduğu görülür.

Step-by-Step Solution

1
xx değişkeninin alabileceği tam sayı değerlerinin karelerini sınırlamak.
x2∈{0,1,4}x^2 \in \{0, 1, 4\} olmalıdır.
x2+y2≤5x^2 + y^2 \leq 5 ve y2≥0y^2 \geq 0 olduğundan x2≤5x^2 \leq 5 olmalıdır. Bu koşulu sağlayan xx tam sayıları {−2,−1,0,1,2}\{-2, -1, 0, 1, 2\} kümesindedir.
2
Her bir xx tam sayı değeri için y2≤5−x2y^2 \leq 5 - x^2 eşitsizliğini sağlayan yy tam sayılarını belirlemek.
x=0x = 0 için 5, x=±1x = \pm 1 için 10, x=±2x = \pm 2 için 6 değer bulunur.
- x=0  ⟹  y2≤5  ⟹  y∈{−2,−1,0,1,2}x = 0 \implies y^2 \leq 5 \implies y \in \{-2, -1, 0, 1, 2\} (5 adet)
- x=1x = 1 veya x=−1  ⟹  y2≤4  ⟹  y∈{−2,−1,0,1,2}x = -1 \implies y^2 \leq 4 \implies y \in \{-2, -1, 0, 1, 2\} (2 \times 5 = 10 adet)
- x=2x = 2 veya x=−2  ⟹  y2≤1  ⟹  y∈{−1,0,1}x = -2 \implies y^2 \leq 1 \implies y \in \{-1, 0, 1\} (2 \times 3 = 6 adet)
3
Elde edilen tüm durumları toplayarak toplam eleman sayısına ulaşmak.
5+10+6=215 + 10 + 6 = 21 farklı ikili bulunur.
Farklı xx değerleri için elde edilen ikililerin kümeleri ayrık olduğundan toplama kuralı uygulanır.

Key Concept

Bir açık önermeyi doğrulayan elemanların kümesine o önermenin doğruluk kümesi denir. Doğruluk kümesi bulunurken değişkenlerin hangi sayı kümelerine ait olduğuna dikkat edilmelidir.
Rate this question

Topics

Açık Önermeler ve Niceleyiciler

More questions from this topic