Examkin

Açık Önermeler ve Niceleyiciler

11 questions

All types11Multiple choice7True / False3Numeric1
Question 1Question →

p:"(∃x∈Z, 3x+2<8)"p: "(\exists x \in \mathbb{Z}, \ 3x + 2 < 8)"

önermesi veriliyor.

Buna göre, pp önermesinin değili (p′p') aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: ∀x∈Z, 3x+2≥8\forall x \in \mathbb{Z}, \ 3x + 2 \geq 8

Answer

Her x elemandır tam sayı için, 3x + 2 büyük veya eşittir 8
Verilen pp önermesi "en az bir xx tam sayısı için 3x+2<83x + 2 < 8" şeklindedir. Bu önermenin değili alınırken: 1) 'En az bir' (∃\exists) niceleyici 'her' (∀\forall) niceleyicisine dönüşür. 2) Değişkenin tanımlı olduğu tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}) aynen korunur. 3) Açık önermedeki '<<' eşitsizliği '≥\geq' eşitsizliğine dönüşür. Bu kurallar uygulandığında doğru değil önermesi 'her xx tam sayısı için 3x+2≥83x + 2 \geq 8' ifadesidir.

Step-by-Step Solution

1
Niceleyicinin değilini belirleyin.
"En az bir" (∃\exists) niceleyicisinin değili "her" (∀\forall) niceleyicisidir.
Mantık kurallarına göre bir niceleyicinin değili diğer niceleyicidir.
2
Tanım kümesini kontrol edin.
Tanım kümesi olan tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}) değişmeden kalır.
Önermelerin değili alınırken değişkenin tanımlı olduğu evrensel küme değişmez.
3
Açık önermedeki eşitsizliğin değilini alın.
"Küçüktür" (<<) sembolünün değili "büyük veya eşittir" (≥\geq) sembolüdür. Dolayısıyla 3x+2<83x + 2 < 8 ifadesinin değili 3x+2≥83x + 2 \geq 8 olur.
Bir eşitsizlik ifadesinin değili, o ifadenin tümleyenini kapsar.
4
Elde edilen tüm parçaları birleştirin.
p′p' önermesi "∀x∈Z, 3x+2≥8\forall x \in \mathbb{Z}, \ 3x + 2 \geq 8" olarak bulunur.
Tüm adımlardaki değilleme kuralları bir araya getirilerek nihai değil önermesi elde edilir.

Key Concept

Açık Önermelerin Değili ve Niceleyicilerin Olumsuzu
Question 2Question →

N\mathbb{N} doğal sayılar kümesi olmak üzere, p(x):′2x−5>3′p(x): '2x - 5 > 3' açık önermesi veriliyor. Buna göre, bu açık önermenin doğruluk kümesinin en küçük elemanının 5 olduğu iddiası doğru bir önerme midir?

Show answer & explanation

Answer: True

Answer

Açık önermenin doğruluk kümesinin en küçük elemanı 5'tir.
Verilen açık önermeyi sağlayan doğal sayıların oluşturduğu doğruluk kümesi {5,6,7,… }\{5, 6, 7, \dots\} şeklindedir ve bu kümenin en küçük elemanı gerçekten 5'tir.

Step-by-Step Solution

1
Açık önermedeki eşitsizliği çözmek.
2x>8⇒x>42x > 8 \Rightarrow x > 4 eşitsizliği elde edilir.
Önermeyi doğru yapan xx değerlerinin aralığını belirlemek için.
2
Belirtilen sayı kümesindeki en küçük elemanı bulmak.
x∈Nx \in \mathbb{N} ve x>4x > 4 koşulunu sağlayan en küçük doğal sayı 5'tir.
Doğal sayılar kümesinde 4'ten büyük en küçük tam sayıyı belirlemek için.

Key Concept

Açık önermenin doğruluk kümesini bulma ve niceleyici özellikleri.
Question 3Question →
Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı
p:"∀x∈R, x2−3≥0"p: "\forall x \in \mathbb{R}, \ x^2 - 3 \geq 0"
önermesi veriliyor.

Buna göre, pp önermesinin değili (p′p') aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: ∃x∈R, x2−3<0\exists x \in \mathbb{R}, \ x^2 - 3 < 0

Answer

Niceleyicinin ve açık önermenin değilleri alınarak elde edilen ∃x∈R, x2−3<0\exists x \in \mathbb{R}, \ x^2 - 3 < 0 ifadesidir.
Niceleyiciler içeren bir önermenin değili alınırken, her (∀\forall) niceleyicisi bazı (∃\exists) niceleyicisine dönüştürülür ve açık önermedeki ≥\geq eşitsizliği de yön değiştirerek eşitliksiz << sembolü haline gelir. Bu nedenle doğru cevap ∃x∈R, x2−3<0\exists x \in \mathbb{R}, \ x^2 - 3 < 0 ifadesidir.

Step-by-Step Solution

1
Niceleyicinin değili bulunur.
Her (∀\forall) niceleyicisinin değili, bazı (∃\exists) niceleyicisidir. Bu durumda ∀x∈R\forall x \in \mathbb{R} ifadesinin değili ∃x∈R\exists x \in \mathbb{R} olur.
Mantıktaki niceleyiciler değilleme kuralları gereği ∀\forall sembolü ∃\exists sembolü ile yer değiştirir.
2
Açık önermedeki eşitsizliğin değili alınır.
≥\geq (büyük veya eşit) ifadesinin değili << (küçük) ifadesidir. Dolayısıyla x2−3≥0x^2 - 3 \geq 0 açık önermesinin değili x2−3<0x^2 - 3 < 0 olur.
Eşitsizliklerin değili alınırken yön değiştirilir ve sınır değerinin dahil olma durumu (eşitlik) tersine çevrilir.
3
Niceleyici ve eşitsizlik değilleri birleştirilir.
p′:"∃x∈R, x2−3<0"p': "\exists x \in \mathbb{R}, \ x^2 - 3 < 0" elde edilir.
Önermenin değili, tüm bileşenlerinin değillerinin bir araya getirilmesiyle oluşur.

Key Concept

Açık önermelerin ve niceleyicilerin değili
Question 4Question →

Tam sayılar ve gerçek sayılar kümeleri üzerinde aşağıdaki pp, qq ve rr önermeleri tanımlanıyor:

p:∀x∈R, x2+4>0p: \forall x \in \mathbb{R}, \ x^2 + 4 > 0
q:∃x∈Z, 2x−3=0q: \exists x \in \mathbb{Z}, \ 2x - 3 = 0
r:∀x∈Z−, x2>xr: \forall x \in \mathbb{Z}^-, \ x^2 > x

Buna göre;

I. p⇒qp \Rightarrow q
II. q′∨r′q' \lor r'
III. p∧rp \land r

ifadelerinden hangilerinin doğruluk değeri 11'dir?

Show answer & explanation

Answer: II ve III

Answer

II ve III
pp ve rr önermelerinin doğruluk değerleri 11, qq önermesinin doğruluk değeri ise 00'dır. Bu değerler bileşik önermelerde yerine yazıldığında ikinci ve üçüncü ifadelerin doğruluk değerleri 11 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
pp önermesinin doğruluk değerini belirleme
p≡1p \equiv 1
Her x∈Rx \in \mathbb{R} için x2≥0x^2 \geq 0 olduğundan, eşitsizliğin her iki tarafına 44 eklendiğinde x2+4≥4>0x^2 + 4 \geq 4 > 0 elde edilir. Bu ifade tüm gerçek sayılar için doğru olduğundan pp önermesinin doğruluk değeri 11'dir.
2
qq önermesinin doğruluk değerini belirleme
q≡0q \equiv 0
2x−3=02x - 3 = 0 denklemini sağlayan xx değeri 1.51.5'tir. Ancak 1.5∉Z1.5 \notin \mathbb{Z} olduğundan, bu denklemi sağlayan bir tam sayı yoktur. Dolayısıyla qq önermesinin doğruluk değeri 00'dır.
3
rr önermesinin doğruluk değerini belirleme
r≡1r \equiv 1
Her negatif tam sayı (x∈Z−x \in \mathbb{Z}^-) için x2x^2 pozitif bir gerçek sayıdır. Pozitif bir sayı daima negatif bir sayıdan büyük olacağından, her negatif tam sayı için x2>xx^2 > x eşitsizliği doğrudur. Dolayısıyla rr önermesinin doğruluk değeri 11'dir.
4
Bileşik önermelerin doğruluk değerlerini hesaplama
I. ifade 00, II. ve III. ifadeler 11'dir.
Bulunan p≡1p \equiv 1, q≡0q \equiv 0, r≡1r \equiv 1 değerleri yerine yazıldığında:
I. p⇒q≡1⇒0≡0p \Rightarrow q \equiv 1 \Rightarrow 0 \equiv 0
II. q′∨r′≡0′∨1′≡1∨0≡1q' \lor r' \equiv 0' \lor 1' \equiv 1 \lor 0 \equiv 1
III. p∧r≡1∧1≡1p \land r \equiv 1 \land 1 \equiv 1
elde edilir.

Key Concept

Açık önermelerin belirtilen sayı kümelerindeki doğruluk değerlerinin bulunması ve niceleyicilerin mantıksal yorumu
Question 5Question →

R\mathbb{R} gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı p:"(∀x∈R, x2≥0)⇒(∃x∈R, x<0)"p: "(\forall x \in \mathbb{R}, \ x^2 \geq 0) \Rightarrow (\exists x \in \mathbb{R}, \ x < 0)" önermesinin değili p′:"(∃x∈R, x2<0)∧(∀x∈R, x≥0)"p': "(\exists x \in \mathbb{R}, \ x^2 < 0) \wedge (\forall x \in \mathbb{R}, \ x \geq 0)" önermesidir.

Show answer & explanation

Answer: False

Answer

Verilen ifade yanlıştır.
Verilen ifade yanlıştır çünkü bir koşullu önermenin değili alınırken birinci önerme aynen kalıp ikinci önermenin değili alınmalıdır.

Step-by-Step Solution

1
Koşullu önermenin değili kuralını belirleme
(A⇒B)′≡A∧B′(A \Rightarrow B)' \equiv A \wedge B' denkliği geçerlidir.
Bir koşullu önermenin değilini almak için birinci bileşen (AA) aynen yazılır ve ikinci bileşenin değili (B′B') ile 've' (∧\wedge) bağlacı kullanılarak birleştirilir.
2
Birinci bileşenin (AA) belirlenmesi
A:∀x∈R, x2≥0A: \forall x \in \mathbb{R}, \ x^2 \geq 0 önermesidir.
Kural gereği birinci bileşen üzerinde herhangi bir değilleme işlemi yapılmaz.
3
İkinci bileşenin (BB) değili olan B′B' önermesinin bulunması
B′:∀x∈R, x≥0B': \forall x \in \mathbb{R}, \ x \geq 0 önermesidir.
B:∃x∈R, x<0B: \exists x \in \mathbb{R}, \ x < 0 önermesinin niceleyicisi ∃\exists yerine ∀\forall yapılır ve x<0x < 0 eşitsizliğinin değili x≥0x \geq 0 olarak yazılır.
4
Bileşik önermenin doğru değilinin (p′p') yazılması ve verilen ifade ile karşılaştırılması
p′:(∀x∈R, x2≥0)∧(∀x∈R, x≥0)p': (\forall x \in \mathbb{R}, \ x^2 \geq 0) \wedge (\forall x \in \mathbb{R}, \ x \geq 0) olmalıdır. Ancak soruda verilen p′p' önermesinde birinci bileşenin de değili alınmıştır.
Soruda verilen p′p' önermesinin ilk kısmı ∃x∈R, x2<0\exists x \in \mathbb{R}, \ x^2 < 0 olarak yanlış yazılmıştır. Dolayısıyla verilen ifade yanlıştır.

Key Concept

Koşullu önermelerin ve niceleyicilerin değili (olumsuzu)
Estimated Time:2m 0s
Question 6Question →
s:"∀x∈R, (x2−1≥0⇒x>0)"s: "\forall x \in \mathbb{R}, \ (x^2 - 1 \geq 0 \Rightarrow x > 0)"

önermesi gerçek sayılar kümesi R\mathbb{R} üzerinde tanımlanmıştır.

Buna göre, ss önermesinin değili (s′s') aşağıdakilerden hangisine denktir?

Show answer & explanation

Answer: ∃x∈R, (x2−1≥0∧x≤0)\exists x \in \mathbb{R}, \ (x^2 - 1 \geq 0 \land x \leq 0)

Answer

Bazı gerçek sayılar için x kare eksi bir sıfırdan büyük veya eşit ve x sıfırdan küçük veya eşittir önermesi
Verilen önermenin değili alınırken öncelikle başındaki her (∀\forall) niceleyicisi bazı (∃\exists) niceleyicisine dönüştürülür. Ardından p⇒qp \Rightarrow q yapısındaki ifadenin değili ¬(p⇒q)≡p∧q′\neg(p \Rightarrow q) \equiv p \land q' kuralıyla açılır. Bu durumda birinci bileşen olan x2−1≥0x^2 - 1 \geq 0 aynen kalırken, ikinci bileşen olan x>0x > 0 ifadesinin değili x≤0x \leq 0 olarak elde edilir. Bu iki ifade 've' (∧\land) bağlacı ile birleştirildiğinde doğru ifadeye ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Niceleyicinin değilini alma
∀x∈R\forall x \in \mathbb{R} ifadesinin değili ∃x∈R\exists x \in \mathbb{R} olur.
Her niceleyicisinin mantıksal değili en az bir (bazı) niceleyicisidir.
2
Koşullu önermenin değilini alma kuralını uygulama
¬(p⇒q)≡p∧q′\neg(p \Rightarrow q) \equiv p \land q' kuralı gereğince, parantez içindeki ifadenin değili (x2−1≥0)∧¬(x>0)(x^2 - 1 \geq 0) \land \neg(x > 0) şekline gelir.
İse bağlacının değili, birinci önerme aynen kalıp ikinci önermenin değili alınarak ve bağlacı ile birleştirilerek bulunur.
3
Eşitsizliğin değilini alma
¬(x>0)≡x≤0\neg(x > 0) \equiv x \leq 0 olur. Buradan ifadenin son hali (x2−1≥0)∧(x≤0)(x^2 - 1 \geq 0) \land (x \leq 0) olarak bulunur.
Büyüktür sembolünün değili, küçük veya eşittir sembolüdür.

Key Concept

Açık önermelerin niceleyiciler kullanarak değillerinin (olumsuzlarının) bulunması ve koşullu önerme içeren mantıksal ifadelerin değili kuralları.
Question 7Question →

Gerçek sayılar k��mesi üzerinde R\mathbb{R} ve tam sayılar kümesi üzerinde Z\mathbb{Z} sembolleri kullanılarak aşağıdaki önermeler tanımlanıyor:

p:"∀x∈R, ∃y∈R, x−y2=3"p: "\forall x \in \mathbb{R}, \ \exists y \in \mathbb{R}, \ x - y^2 = 3"
q:"∃x∈Z, ∀y∈Z, x⋅y=x"q: "\exists x \in \mathbb{Z}, \ \forall y \in \mathbb{Z}, \ x \cdot y = x"
r:"∀x∈R, ∃y∈Z, y<x<y+1"r: "\forall x \in \mathbb{R}, \ \exists y \in \mathbb{Z}, \ y < x < y+1"

Buna göre; pp, qq ve rr önermelerinden hangilerinin doğruluk değeri 1'dir?

Show answer & explanation

Answer: Yalnız qq

Answer

Doğruluk değeri 1 olan tek önerme qq önermesidir. Bu nedenle doğru cevap yalnız qq ifadesini içeren seçenektir.
Doğruluk değeri 1 olan tek önerme qq önermesidir. x=0x = 0 tam sayısı seçildiğinde, her yy tam sayısı için 0⋅y=00 \cdot y = 0 eşitliği her zaman sağlanır.

Step-by-Step Solution

1
pp önermesinin doğruluk değerini belirlemek için her xx gerçek sayısı için x−y2=3x - y^2 = 3 denklemini sağlayan bir yy gerçek sayısının var olup olmadığını inceleyelim.
x<3x < 3 (örneğin x=2x = 2) için y2=−1y^2 = -1 olur. Karesi negatif olan bir gerçek sayı olmadığından bu eşitliği sağlayan bir y∈Ry \in \mathbb{R} bulunamaz. Dolayısıyla pp önermesinin doğruluk değeri 0'dır (p≡0p \equiv 0).
Evrensel niceleyicinin (\forall) sağlandığını göstermek için tüm elemanların koşula uyması gerekir, uymayan tek bir karşıt örnek önermeyi yanlış yapar.
2
qq önermesinin doğruluk değerini belirlemek için x⋅y=xx \cdot y = x eşitliğini her yy tam sayısı için sağlayan en az bir xx tam sayısının var olup olmadığını inceleyelim.
x=0x = 0 tam sayısı seçildiğinde, her y∈Zy \in \mathbb{Z} için 0⋅y=00 \cdot y = 0 olur. Bu sonuç seçilen xx değerine (00'a) eşit olduğu için eşitlik her zaman sağlanır. Dolayısıyla qq önermesinin doğruluk değeri 1'dir (q≡1q \equiv 1).
Varoluşsal niceleyici (\exists) için koşulu sağlayan en az bir elemanın bulunması önermenin doğru olması için yeterlidir.
3
rr önermesinin doğruluk değerini belirlemek için her xx gerçek sayısı için y<x<y+1y < x < y+1 koşulunu sağlayan bir yy tam sayısının bulunup bulunamayacağını inceleyelim.
xx bir tam sayı (örneğin x=1x = 1) seçildiğinde, y<1<y+1y < 1 < y+1 eşitsizliğini sağlayan bir yy tam sayısı bulunamaz. Çünkü y<1y < 1 ise y≤0y \le 0 olmalıdır; bu durumda y+1≤1y+1 \le 1 olur ve 1<y+11 < y+1 ifadesi çelişki yaratır. Dolayısıyla rr önermesinin doğruluk değeri 0'dır (r≡0r \equiv 0).
Herhangi bir tam sayının iki ardışık tam sayı arasında yer alması mantıksal olarak imkansızdır.

Key Concept

Açık Önermeler ve Niceleyiciler
Estimated Time:2m 0s
Question 8Question →

Tam sayılar kümesi Z\mathbb{Z} üzerinde tanımlı

p(x,y):"x2+y2≤5"p(x, y): "x^2 + y^2 \leq 5"

açık önermesinin doğruluk kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 21

Answer

Açık önermeyi sağlayan 21 farklı (x, y) tam sayı ikilisi vardır.
Verilen açık önermeyi doğru yapan (x,y)(x, y) tam sayı ikililerinin sayısı, x2+y2≤5x^2 + y^2 \leq 5 eşitsizliğini sağlayan tüm tam sayı çiftlerinin bulunmasıyla elde edilir. Bu çiftler tek tek incelendiğinde 21 farklı ikili olduğu görülür.

Step-by-Step Solution

1
xx değişkeninin alabileceği tam sayı değerlerinin karelerini sınırlamak.
x2∈{0,1,4}x^2 \in \{0, 1, 4\} olmalıdır.
x2+y2≤5x^2 + y^2 \leq 5 ve y2≥0y^2 \geq 0 olduğundan x2≤5x^2 \leq 5 olmalıdır. Bu koşulu sağlayan xx tam sayıları {−2,−1,0,1,2}\{-2, -1, 0, 1, 2\} kümesindedir.
2
Her bir xx tam sayı değeri için y2≤5−x2y^2 \leq 5 - x^2 eşitsizliğini sağlayan yy tam sayılarını belirlemek.
x=0x = 0 için 5, x=±1x = \pm 1 için 10, x=±2x = \pm 2 için 6 değer bulunur.
- x=0  ⟹  y2≤5  ⟹  y∈{−2,−1,0,1,2}x = 0 \implies y^2 \leq 5 \implies y \in \{-2, -1, 0, 1, 2\} (5 adet)
- x=1x = 1 veya x=−1  ⟹  y2≤4  ⟹  y∈{−2,−1,0,1,2}x = -1 \implies y^2 \leq 4 \implies y \in \{-2, -1, 0, 1, 2\} (2 \times 5 = 10 adet)
- x=2x = 2 veya x=−2  ⟹  y2≤1  ⟹  y∈{−1,0,1}x = -2 \implies y^2 \leq 1 \implies y \in \{-1, 0, 1\} (2 \times 3 = 6 adet)
3
Elde edilen tüm durumları toplayarak toplam eleman sayısına ulaşmak.
5+10+6=215 + 10 + 6 = 21 farklı ikili bulunur.
Farklı xx değerleri için elde edilen ikililerin kümeleri ayrık olduğundan toplama kuralı uygulanır.

Key Concept

Bir açık önermeyi doğrulayan elemanların kümesine o önermenin doğruluk kümesi denir. Doğruluk kümesi bulunurken değişkenlerin hangi sayı kümelerine ait olduğuna dikkat edilmelidir.
Question 9Question →
Z\mathbb{Z} tam sayılar kümesini ve R\mathbb{R} gerçek sayılar kümesini göstermek üzere,
p:"(∃x∈Z, 3x+2<8)⇒(∀x∈R, x2≥0)"p: "(\exists x \in \mathbb{Z}, \ 3x + 2 < 8) \Rightarrow (\forall x \in \mathbb{R}, \ x^2 \geq 0)"
önermesi veriliyor.

Buna göre, pp önermesinin değili olan p′p' önermesi aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: (∃x∈Z, 3x+2<8)∧(∃x∈R, x2<0)(\exists x \in \mathbb{Z}, \ 3x + 2 < 8) \wedge (\exists x \in \mathbb{R}, \ x^2 < 0)

Answer

Birinci bileşeni aynı kalan, aradaki bağlacı ve (∧\wedge) olan ve ikinci bileşenindeki niceleyici ile eşitsizlik yönü doğru biçimde tersine çevrilen önerme doğru cevaptır.
Mantık kurallarına göre A⇒BA \Rightarrow B koşullu önermesinin değili A∧B′A \wedge B' ifadesine denktir. Burada birinci önerme olan tam sayılar üzerindeki açık önerme aynen kalmış, aradaki bağlaç 've' yapılmış, ikinci önermenin ise niceliği 'bazı' (∃\exists) haline getirilip eşitsizliği de sıfırdan küçük (<0< 0) olacak şekilde doğru şekilde tersine çevrilmiştir.

Step-by-Step Solution

1
Koşullu önermenin değili kuralını belirleme
p⇒q≡p′∨qp \Rightarrow q \equiv p' \vee q olduğundan, bu ifadenin değili ¬(p⇒q)≡¬(p′∨q)≡p∧q′\neg(p \Rightarrow q) \equiv \neg(p' \vee q) \equiv p \wedge q' şeklinde elde edilir.
Verilen önerme bir ise (⇒\Rightarrow) önermesi olduğu için olumsuzunu almak amacıyla bu mantıksal denklik kuralı uygulanmalıdır.
2
İkinci bileşenin (qq) değilini (q′q') hesaplama
q:(∀x∈R, x2≥0)q: (\forall x \in \mathbb{R}, \ x^2 \geq 0) önermesinin değili q′:(∃x∈R, x2<0)q': (\exists x \in \mathbb{R}, \ x^2 < 0) olarak bulunur.
Niceleyicilerin değili alınırken 'her' (∀\forall) niceleyicisi 'bazı' (∃\exists) niceleyicisine dönüşür ve ≥\geq sembolünün değili << sembolü olur.
3
Bileşenleri p∧q′p \wedge q' formunda birleştirme
Birinci bileşen olan (∃x∈Z, 3x+2<8)(\exists x \in \mathbb{Z}, \ 3x + 2 < 8) aynen korunur ve araya 've' (∧\wedge) bağlacı konularak ikinci bileşenin değili ile birleştirilir. Sonuç: (∃x∈Z, 3x+2<8)∧(∃x∈R, x2<0)(\exists x \in \mathbb{Z}, \ 3x + 2 < 8) \wedge (\exists x \in \mathbb{R}, \ x^2 < 0)
İlk adımda elde edilen mantıksal denklik kuralına göre önermenin olumsuzu bu şekilde kurulur.

Key Concept

Açık önermelerin ve niceleyici içeren bileşik önermelerin değili (olumsuzu)
Estimated Time:1m 30s
Question 10Question →
Tam sayılar kümesi Z\mathbb{Z} üzerinde tanımlanan
p:"∀x∈Z,∃y∈Z, x−y=5"p: "\forall x \in \mathbb{Z}, \exists y \in \mathbb{Z}, \ x - y = 5"
q:"∃x∈Z,∀y∈Z, x⋅y=0"q: "\exists x \in \mathbb{Z}, \forall y \in \mathbb{Z}, \ x \cdot y = 0"
önermeleri için p⇒qp \Rightarrow q bileşik önermesinin doğruluk değeri 00'dır.
Show answer & explanation

Answer: False

Answer

Verilen bileşik önermenin doğruluk değeri 1 olduğundan, değerinin 0 olduğunu belirten ifade yanlıştır.
Verilen pp ve qq önermelerinin her ikisi de doğru olduğundan, p⇒qp \Rightarrow q koşullu önermesinin doğruluk değeri 1'dir. Bu nedenle, bileşik önermenin doğruluk değerinin 0 olduğunu iddia eden ifade yanlıştır.

Step-by-Step Solution

1
pp önermesinin doğruluk değerini belirleme
p≡1p \equiv 1
Her x∈Zx \in \mathbb{Z} için x−y=5⇒y=x−5x - y = 5 \Rightarrow y = x - 5 olur. İki tam sayının farkı da her zaman bir tam sayı olduğundan, seçilen her xx tam sayısı için bu koşulu sağlayan en az bir yy tam sayısı bulunabilir.
2
qq önermesinin doğruluk değerini belirleme
q≡1q \equiv 1
x=0x = 0 tam sayısı seçildiğinde, her y∈Zy \in \mathbb{Z} için 0⋅y=00 \cdot y = 0 eşitliği sağlanır. En az bir tane (x=0x=0) bu koşulu sağlayan tam sayı var olduğundan önerme doğrudur.
3
p⇒qp \Rightarrow q bileşik önermesinin doğruluk değerini hesaplama
p⇒q≡1⇒1≡1p \Rightarrow q \equiv 1 \Rightarrow 1 \equiv 1
Koşullu önermede (ise bağlacı), hipotez doğru ve hüküm doğru iken bileşik önerme de doğrudur.

Key Concept

Açık önermelerin niceleyiciler altındaki doğruluk değerlerinin belirlenmesi ve mantıksal bağlaçlarla bileşik önermelerin oluşturulması
Question 11Question →

Z+\mathbb{Z}^+ pozitif tam sayılar kümesi ve Z\mathbb{Z} tam sayılar kümesi olmak üzere,

p(x,y):"x2−y<4"p(x, y): "x^2 - y < 4"
q(x,y):"x+y2≤5"q(x, y): "x + y^2 \leq 5"

açık önermeleri tanımlanıyor.

Buna göre, (x,y)∈Z+×Z(x, y) \in \mathbb{Z}^+ \times \mathbb{Z} olmak üzere, p(x,y)∧q(x,y)p(x, y) \wedge q(x, y) açık önermesinin doğruluk kümesinin eleman say��sı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 66

Answer

Doğruluk kümesinin eleman sayısı 6'dır.
Doğruluk kümesinin eleman sayısı altı olarak bulunur. Her iki eşitsizliği de sağlayan pozitif tam sayı xx ve tam sayı yy ikilileri sırasıyla (1,−2)(1, -2), (1,−1)(1, -1), (1,0)(1, 0), (1,1)(1, 1), (2,1)(2, 1) ve (1,2)(1, 2)'dir. Burada y=2y = 2 için xx'in alabileceği değerler x2<6x^2 < 6 eşitsizliğinden 11 ve 22 iken, x≤5−22=1x \leq 5 - 2^2 = 1 koşulu nedeniyle sadece x=1x = 1 değeri kabul edilir ve (2,2)(2, 2) ikilisi elenir.

Step-by-Step Solution

1
İki açık önermenin de doğru olmasını sağlayan (x,y)(x, y) ikililerini bulmak için eşitsizlikleri düzenleyelim.
Birinci eşitsizlikten y>x2−4y > x^2 - 4 ve ikinci eşitsizlikten x≤5−y2x \leq 5 - y^2 elde edilir.
Eşitsizlikleri tek bir değişken cinsinden ifade etmek sınırları belirlemeyi kolaylaştırır.
2
xx'in pozitif tam sayı olması (x≥1x \geq 1) şartını kullanarak yy'nin alabileceği tam sayı değerlerini sınırlandıralım.
x≥1x \geq 1 ve x≤5−y2x \leq 5 - y^2 olduğundan, 1≤5−y2⇒y2≤41 \leq 5 - y^2 \Rightarrow y^2 \leq 4 elde edilir. Buradan yy tam sayısı −2,−1,0,1,2-2, -1, 0, 1, 2 değerlerini alabilir.
yy değişkeninin alabileceği değer aralığını daraltarak sonlu sayıda durum incelemesi yapmak.
3
yy'nin her bir olası değeri için y>x2−4y > x^2 - 4 (yani x2<y+4x^2 < y + 4) ve x≤5−y2x \leq 5 - y^2 eşitsizliklerini sağlayan pozitif tam sayı xx değerlerini belirleyelim.
Aşağıdaki tabloda görüldüğü gibi her bir yy değeri için xx değerleri bulunur:

yy Değerix2<y+4x^2 < y + 4 Koşulux≤5−y2x \leq 5 - y^2 KoşuluGeçerli xx DeğerleriOluşan İkililer
−2-2x2<2x^2 < 2x≤1x \leq 111(1,−2)(1, -2)
−1-1x2<3x^2 < 3x≤4x \leq 411(1,−1)(1, -1)
00x2<4x^2 < 4x≤5x \leq 511(1,0)(1, 0)
11x2<5x^2 < 5x≤4x \leq 41,21, 2(1,1),(2,1)(1, 1), (2, 1)
22x2<6x^2 < 6x≤1x \leq 111(1,2)(1, 2)
Tüm olası yy değerleri için xx çözümlerini sistematik olarak bulmak.
4
Bulunan tüm geçerli (x,y)(x, y) sıralı ikililerini listeleyelim ve sayalım.
Doğruluk kümesi {(1,−2),(1,−1),(1,0),(1,1),(2,1),(1,2)}\{(1, -2), (1, -1), (1, 0), (1, 1), (2, 1), (1, 2)\} olup eleman sayısı 66'dır.
Ortak çözüm kümesinin eleman sayısını belirlemek.

Key Concept

Açık Önermelerin Doğruluk Kümelerini Bulma
Açık Önermeler ve Niceleyiciler Practice Questions — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) | Examkin