Examkin

Question

Difficulty: HardArdışık Sayılar ve Toplamları

Toplamları 120120 olan ardışık pozitif tam sayılar veya ardışık pozitif çift tam sayılardan oluşan gruplar aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır:

* I. Grup: Elemanları ardışık pozitif tam sayılardan oluşan, eleman sayısı birden büyük ve en az eleman içeren grup.
* II. Grup: Elemanları ardışık pozitif çift tam sayılardan oluşan ve en çok eleman içeren grup.
* III. Grup: Elemanları ardışık pozitif tam sayılardan oluşan ve en çok eleman içeren grup.

Buna göre; I, II ve III. grupların terim sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

  1. 1I. Grup'un terim sayısı
  2. 2II. Grup'un terim sayısı
  3. 3III. Grup'un terim sayısı

Answer

I. Grup'un terim sayısı (3) < II. Grup'un terim sayısı (8) < III. Grup'un terim sayısı (15)
I. Grup'un terim sayısı 33, II. Grup'un terim sayısı 88 ve III. Grup'un terim sayısı 1515 olarak hesaplanır. Bu değerlerin küçükten büyüğe sıralaması sırasıyla I. Grup, II. Grup ve III. Grup şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1
I. Grup için terim sayısının belirlenmesi.
Terim sayısı 33 olarak bulunur.
Ardışık pozitif tam sayıların toplamı a+(a+1)+⋯+(a+n−1)=120  ⟹  n(2a+n−1)=240a + (a+1) + \dots + (a+n-1) = 120 \implies n(2a+n-1) = 240 denklemini verir. Pozitif tam sayılar için n>1n > 1 şartını sağlayan en küçük nn değeri n=3n = 3 olur (bu durumda ilk terim a=39a=39 olur).
2
II. Grup için terim sayısının belirlenmesi.
Terim sayısı 88 olarak bulunur.
Ardışık pozitif çift tam sayıların toplamı 2a+(2a+2)+⋯+(2a+2m−2)=120  ⟹  m(2a+m−1)=1202a + (2a+2) + \dots + (2a+2m-2) = 120 \implies m(2a+m-1) = 120 denklemini verir. En büyük terim sayısını bulmak için mm'in en büyük pozitif tam sayı değeri aranır. m=8m = 8 için 2a+7=15  ⟹  a=42a+7 = 15 \implies a=4 pozitif tam sayı çözümü elde edilir. m=15m = 15 için 2a+14=8  ⟹  a=−32a+14=8 \implies a=-3 olur ki bu pozitif olma şartını bozar. Dolayısıyla maksimum terim sayısı 88'dir.
3
III. Grup için terim sayısının belirlenmesi.
Terim sayısı 1515 olarak bulunur.
Toplamları 120120 olan ardışık pozitif tam sayı dizisinin en çok terim içermesi için dizinin en küçük pozitif tam sayı olan 11 ile başlaması gerekir. 1+2+⋯+n=n(n+1)2=120  ⟹  n(n+1)=240  ⟹  n=151 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2} = 120 \implies n(n+1) = 240 \implies n = 15 olur.
4
Terim sayılarının karşılaştırılması.
3<8<153 < 8 < 15 şeklinde sıralanır.
Bulunan terim sayıları sırasıyla 33, 88 ve 1515 olduğundan, küçükten büyüğe sıralama I < II < III şeklindedir.

Key Concept

Ardışık sayı dizilerinde terim sayısı ve toplam formülleri arasındaki ilişkilerin çözümlenmesi.
Rate this question

Topics

Ardışık Sayılar ve Toplamları

More questions from this topic