Examkin

Question

Difficulty: HardÖnermeler ve Bağlaçlar

Sıfırdan farklı x,yx, y ve zz gerçel sayıları için,

p:x⋅y>0p: x \cdot y > 0
q:x+z<0q: x + z < 0
r:y⋅z>0r: y \cdot z > 0

önermeleri veriliyor.

(p∨q)⇒(q∨r)(p \lor q) \Rightarrow (q \lor r)

önermesi yanlış olduğuna göre;

I. x⋅z<0x \cdot z < 0
II. x⋅y>0x \cdot y > 0
III. x+z>0x + z > 0

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. I ve IIAnswer
  4. D
    I ve III
  5. E
    I, II ve III

Answer

I ve II
Bileşik önermenin yanlış olması için hipotezin doğru, hükmün yanlış olması gerekir. Buradan p∨q≡1p \lor q \equiv 1 ve q∨r≡0q \lor r \equiv 0 çıkar. q∨r≡0q \lor r \equiv 0 durumundan hem q≡0q \equiv 0 hem de r≡0r \equiv 0 bulunur. Bu değer p∨q≡1p \lor q \equiv 1 içinde yerine yazıldığında p≡1p \equiv 1 elde edilir. Bu durumda x⋅y>0x \cdot y > 0 (yani xx ve yy aynı işaretli) ve y⋅z<0y \cdot z < 0 (yani yy ve zz zıt işaretli) olur. Dolayısıyla xx ve zz zıt işaretli olmalıdır, yani x⋅z<0x \cdot z < 0 her zaman doğrudur. Ayrıca p≡1p \equiv 1 olduğundan x⋅y>0x \cdot y > 0 ifadesi her zaman doğrudur. Ancak q≡0q \equiv 0 durumundan sadece x+z≥0x + z \geq 0 sonucuna varılır; x+z=0x + z = 0 olabileceği için üçüncü ifade her zaman doğru değildir.

Step-by-Step Solution

1
Bileşik önermenin doğruluk değerini çözümleyin.
(p∨q)⇒(q∨r)≡0(p \lor q) \Rightarrow (q \lor r) \equiv 0 olduğundan, ise bağlacının kuralı gereği p∨q≡1p \lor q \equiv 1 ve q∨r≡0q \lor r \equiv 0 olmalıdır.
Bir koşullu önermenin yanlış olması yalnızca ilk kısmın doğru ve ikinci kısmın yanlış olması durumunda mümkündür.
2
Bileşen önermelerin doğruluk değerlerini belirleyin.
q∨r≡0q \lor r \equiv 0 olduğundan hem q≡0q \equiv 0 hem de r≡0r \equiv 0 olmalıdır. q≡0q \equiv 0 değeri p∨q≡1p \lor q \equiv 1 ifadesinde yerine yazılırsa, p∨0≡1p \lor 0 \equiv 1 ve buradan p≡1p \equiv 1 elde edilir.
Veya bağlacının sonucunun 0 olması için tüm bileşenlerinin 0 olması gerekir.
3
Önermelerin doğruluk değerlerini gerçel sayılar üzerindeki ifadelere uygulayın.
p≡1⇒x⋅y>0p \equiv 1 \Rightarrow x \cdot y > 0 (yani xx ve yy aynı işaretlidir).
r≡0⇒y⋅z>0r \equiv 0 \Rightarrow y \cdot z > 0 ifadesi yanlıştır. Sayılar sıfırdan farklı olduğu için y⋅z<0y \cdot z < 0 olmalıdır (yani yy ve zz zıt işaretlidir).
q≡0⇒x+z<0q \equiv 0 \Rightarrow x + z < 0 ifadesi yanlıştır, dolayısıyla x+z≥0x + z \geq 0 olmalıdır.
Doğru önermelerin kendileri, yanlış önermelerin ise olumsuzları (negasyonları) matematiksel olarak sağlanmalıdır.
4
Öncülleri tek tek değerlendirin.
I. xx ve yy aynı işaretli, yy ve zz zıt işaretli olduğundan, xx ve zz zıt işaretli olmak zorundadır. Dolayısıyla x⋅z<0x \cdot z < 0 her zaman doğrudur.
II. p≡1p \equiv 1 olduğundan x⋅y>0x \cdot y > 0 ifadesi doğrudan doğrudur.
III. q≡0q \equiv 0 olduğundan x+z≥0x + z \geq 0 elde edilir. Ancak x+z=0x + z = 0 durumu da mümkündür (örneğin x=2,y=2,z=−2x = 2, y = 2, z = -2 için tüm koşullar sağlanır ve x+z=0x+z=0 olur). Bu nedenle x+z>0x + z > 0 ifadesi her zaman doğru değildir.
Elde edilen işaret ve eşitsizlik ilişkilerini kullanarak her bir yargının kesinliğini kontrol etmek gerekir.

Key Concept

Koşullu önermelerin ve veya bağlacının doğruluk değerlerinin analizi ile eşitsizliklerin olumsuzunun gerçel sayılarda yorumlanması.
Rate this question

Topics

Önermeler ve Bağlaçlar

More questions from this topic