Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÖzel Tanımlı İşlemler
Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde ⋄\diamond ve ∘\circ işlemleri aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır:
a⋄b=(a+1)⋅(b−1) a \diamond b = (a + 1) \cdot (b - 1)
a∘b=2a−b a \circ b = 2a - b
Buna göre,
(x⋄3)∘5=11 (x \diamond 3) \circ 5 = 11
eşitliğini sağlayan xx değeri kaçtır?
  1. A
    1
  2. B
    2
  3. 3Cevap
  4. D
    4
  5. E
    5

Cevap

Denklemi sağlayan x değeri 3'tür.
Verilen eşitlikte dıştaki ∘\circ işleminin kuralı uygulandığında 2(x⋄3)−5=112(x \diamond 3) - 5 = 11 elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde 2(x⋄3)=16  ⟹  x⋄3=82(x \diamond 3) = 16 \implies x \diamond 3 = 8 bulunur. Daha sonra ⋄\diamond işleminin kuralı uygulandığında (x+1)⋅(3−1)=8  ⟹  2(x+1)=8  ⟹  x+1=4  ⟹  x=3(x + 1) \cdot (3 - 1) = 8 \implies 2(x + 1) = 8 \implies x + 1 = 4 \implies x = 3 olarak elde edilir. Bu nedenle doğru değer 3 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Parantez içindeki (x⋄3)(x \diamond 3) ifadesini tek bir değişken (örneğin YY) gibi kabul ederek d��ştaki ∘\circ işlemini uygularız.
Y∘5=2Y−5=11Y \circ 5 = 2Y - 5 = 11 denkleminden 2Y=16  ⟹  Y=82Y = 16 \implies Y = 8 elde edilir. Buradan x⋄3=8x \diamond 3 = 8 olduğu bulunur.
İşlem önceliğine göre önce dıştaki işlemin kuralı uygulanarak parantez içindeki ifadenin değeri belirlenmelidir.
2
Bulunan x⋄3=8x \diamond 3 = 8 eşitliğine ⋄\diamond işleminin kuralı uygulanır.
(x+1)⋅(3−1)=8  ⟹  2(x+1)=8(x + 1) \cdot (3 - 1) = 8 \implies 2(x + 1) = 8 denklemi elde edilir.
xx değişkenini bulabilmek için tanımlanan birinci işlemin kuralını uygularız.
3
2(x+1)=82(x + 1) = 8 denklemi çözülerek bilinmeyen değer yalnız bırakılır.
x+1=4  ⟹  x=3x + 1 = 4 \implies x = 3 bulunur.
Eşitliğin her iki tarafı 2'ye bölünerek ve ardından 1 çıkarılarak xx değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

Özel Tanımlı İşlemler
Bu soruyu puanla

Konular

Özel Tanımlı İşlemler

Bu konudan daha fazla soru