Examkin

Özel Tanımlı İşlemler

7 soru

Soru 1Soru →
Gerçek sayılar kümesi üzerinde Δ\Delta ve ⋆\star işlemleri
xΔy=2x+yx \mathbin{\Delta} y = 2x + y
x⋆y=3x−2y+kx \mathbin{\star} y = 3x - 2y + k
biçiminde tanımlanıyor.
(3Δ4)⋆5=26(3 \mathbin{\Delta} 4) \mathbin{\star} 5 = 26
olduğuna göre, kk değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6
İşlemler sırasıyla uygulandığında denklemi sağlamaktadır. Öncelikle parantez içindeki 3Δ43 \mathbin{\Delta} 4 işlemi için kural uygulandığında 2×3+4=102 \times 3 + 4 = 10 elde edilir. Bu değer ⋆\star işleminde yerine yazıldığında 10⋆5=3×10−2×5+k=20+k10 \mathbin{\star} 5 = 3 \times 10 - 2 \times 5 + k = 20 + k olur. İfadenin 2626'ya eşit olması gerektiğinden 20+k=26  ⟹  k=620 + k = 26 \implies k = 6 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parantez içindeki işlem olan 3Δ43 \mathbin{\Delta} 4 ifadesinin değeri kurala göre hesaplanır.
3Δ4=2×3+4=103 \mathbin{\Delta} 4 = 2 \times 3 + 4 = 10 elde edilir.
İşlem önceliğine göre önce parantez içi işlem yapılmalıdır.
2
Elde edilen sonuç ikinci işlemde yerine yazılır: 10⋆510 \mathbin{\star} 5.
10⋆5=3×10−2×5+k=20+k10 \mathbin{\star} 5 = 3 \times 10 - 2 \times 5 + k = 20 + k elde edilir.
Bulunan ara değer, dıştaki operatörün ilk bileşeni olarak işleme sokulur.
3
Bulunan ifade verilen eşitliğe (2626) eşitlenerek bilinmeyen kk değişkeni çözülür.
20+k=26  ⟹  k=620 + k = 26 \implies k = 6 bulunur.
Bilinmeyen kk sabitinin değerini bulmak için doğrusal denklem çözümü yapılır.

Anahtar Kavram

Özel Tanımlı İşlemler
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2Soru →

Pozitif gerçek sayılar kümesi üzerinde □\square ve ∘\circ işlemleri aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır:

a□b=a⋅ba+ba \mathbin{\square} b = \frac{a \cdot b}{a + b}
a∘b=2a−ba \mathbin{\circ} b = 2a - b

Buna göre,

(x□6)∘4=2(x \mathbin{\square} 6) \mathbin{\circ} 4 = 2

eşitliğini sağlayan xx değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6
Eşitliği sağlayan bilinmeyen değeri bulmak için önce parantez dışındaki işlem çözülür. Tanımlanan ikinci işleme göre parantez içinin değeri 3 olarak bulunur. Ardından bu değer birinci işlem tanımında yerine yazılarak denklem çözülür ve bilinmeyen değeri 6 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dıştaki işlemi çözmek için parantez içindeki ifadeye tek bir değişken gibi davranılır.
x□6=3x \mathbin{\square} 6 = 3
a∘b=2a−ba \mathbin{\circ} b = 2a - b tanımına göre (x□6)∘4=2(x□6)−4=2(x \mathbin{\square} 6) \mathbin{\circ} 4 = 2(x \mathbin{\square} 6) - 4 = 2 eşitliği yazılır. Buradan 2(x□6)=62(x \mathbin{\square} 6) = 6 ve dolayısıyla x□6=3x \mathbin{\square} 6 = 3 bulunur.
2
Parantez içi ifadeyi tanımlanan birinci işlem kuralına göre açarak bilinmeyen değişken yalnız bırakılır.
x=6x = 6
a□b=a⋅ba+ba \mathbin{\square} b = \frac{a \cdot b}{a + b} tanımına göre x□6=6xx+6=3x \mathbin{\square} 6 = \frac{6x}{x + 6} = 3 eşitliği kurulur. İçler dışlar çarpımı yapıldığında 6x=3(x+6)⇒6x=3x+18⇒3x=18⇒x=66x = 3(x + 6) \Rightarrow 6x = 3x + 18 \Rightarrow 3x = 18 \Rightarrow x = 6 elde edilir.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı matematiksel operatörler ve işlem önceliği
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 3Soru →

Bir xx pozitif tam sayısı için ⟨x⟩\langle x \rangle işlemi aşağıdaki gibi tanımlanıyor:

⟨x⟩={2x+1,x tek isex−3,x c¸ift ise\langle x \rangle = \begin{cases} 2x + 1, & x \text{ tek ise} \\ x - 3, & x \text{ çift ise} \end{cases}

Buna göre, ⟨⟨5⟩⟩\langle \langle 5 \rangle \rangle işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 23

Cevap

İşlemin sonucu 23 sayısıdır.
İçteki ⟨5⟩\langle 5 \rangle işleminde 5 sayısı tek olduğu için tek sayı kuralı uygulanarak 2⋅5+1=112 \cdot 5 + 1 = 11 bulunur. Daha sonra dıştaki işlem için ⟨11⟩\langle 11 \rangle ifadesinde 11 sayısı da tek olduğu için tekrar tek sayı kuralı uygulanır ve 2⋅11+1=232 \cdot 11 + 1 = 23 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İçteki işlem olan ⟨5⟩\langle 5 \rangle değerini hesaplayın.
⟨5⟩=2⋅5+1=11\langle 5 \rangle = 2 \cdot 5 + 1 = 11
5 sayısı bir tek sayı olduğu için kural gereği 2x+12x + 1 ifadesi kullanılır.
2
Elde edilen sonuçla dıştaki işlemi, yani ⟨11⟩\langle 11 \rangle değerini hesaplayın.
⟨11⟩=2⋅11+1=23\langle 11 \rangle = 2 \cdot 11 + 1 = 23
İlk adımdan gelen 11 sayısı da bir tek sayı olduğu için yine 2x+12x + 1 kuralı uygulan��r.

Anahtar Kavram

Özel Tanımlı İşlemler

İpuçları

1
İç içe geçmiş işlemlerde her zaman en içteki parantezden başlayın. Önce ⟨5⟩\langle 5 \rangle değerini bulun.
2
5 sayısı tek olduğundan üstteki kuralı (2x+12x + 1) kullanın. Çıkan sonucu dıştaki işlemde yerine koyun ve sayının tek mi çift mi olduğuna tekrar bakın.

Daha Fazla Pratik

Benzer kurallarla tanımlanmış fakat bu kez üçlü iç içe parantez içeren veya bilinmeyen bir değere eşitlenmiş denklemleri çözmeyi deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 4Soru →
Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde Δ\Delta işlemi,
aΔb=2a+3ba \mathbin{\Delta} b = 2a + 3b
biçiminde tanımlanıyor.
(xΔ2)=16(x \mathbin{\Delta} 2) = 16
olduğuna göre, xx kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

İşlemin doğru uygulanmasıyla elde edilen xx değeri 5'tir.
Tanımlanan aΔb=2a+3ba \mathbin{\Delta} b = 2a + 3b işleminde aa yerine xx ve bb yerine 22 yazıldığında 2x+3(2)=162x + 3(2) = 16 denklemi elde edilir. Bu denklemi düzenlediğimizde 2x+6=162x + 6 = 16 ve buradan 2x=102x = 10 elde edilerek x=5x = 5 bulunur. Dolayısıyla doğru değer 5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanımlanan işlem kuralında değişkenleri yerlerine yerleştirin.
xΔ2=2x+3(2)x \mathbin{\Delta} 2 = 2x + 3(2)
aΔb=2a+3ba \mathbin{\Delta} b = 2a + 3b tanımında birinci bileşen olan aa yerine xx, ikinci bileşen olan bb yerine ise 22 yazılması gerekir.
2
Elde edilen ifadeyi düzenleyin ve verilen eşitliğe eşitleyin.
2x+6=162x + 6 = 16
3⋅2=63 \cdot 2 = 6 çarpımı yapılarak denklem sadeleştirilir ve işlemin sonucu olan 16 değerine eşitlenir.
3
Oluşan birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi çözerek xx değerini bulun.
2x=10⇒x=52x = 10 \Rightarrow x = 5
Eşitliğin her iki tarafından 6 çıkarılır ve ardından her iki taraf 2'ye bölünerek bilinmeyen xx yalnız bırakılır.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı bir işlemde değişkenleri kurala göre doğru sırada yerleştirip denklem çözme
Tahmini Süre:45s
Soru 5Soru →

1'den büyük her nn tam sayısı için p(n)p(n), nn sayısının en büyük asal böleni olarak tanımlanıyor.

11'den büyük tam sayılar üzerinde ⟨n⟩\langle n \rangle işlemi
⟨n⟩=np(n)+p(n)\langle n \rangle = \frac{n}{p(n)} + p(n)
biçiminde tanımlanmıştır.
Buna göre,
⟨⟨x⟩⟩=6\langle \langle x \rangle \rangle = 6
eşitliğini sağlayan iki basamaklı kaç farklı xx doğal sayısı vardır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Koşulları sağlayan 4 farklı iki basamaklı doğal sayı vardır.
Doğru yanıt 4'tür. Eşitliği sağlayan iki basamaklı sayılar incelendiğinde, bu sayıların 14, 15, 18 ve 20 olduğu görülür. Bu sayıların her biri işlem adımlarından geçirilerek doğrulandığında en büyük asal bölen koşulunu ve iki basamaklılık öncülünü eksiksiz sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
y = \langle x \rangle tanımlaması yaparak \langle y \rangle = 6 eşitliğini sağlayan y değerlerini belirlemek.
y sayısı 5, 8 veya 9 olabilir.
İçteki i��lemi tek bir değişken gibi ele alarak dıştaki işlem kuralını uygulamak çözümü kolaylaştırır.
2
y = p * k biçiminde yazılarak k + p = 6 denkleminin çözümlerini ve bu çözümlerin p(y) = p (en büyük asal bölen) şartını sağlayıp sağlamadığını kontrol etmek.
p = 5 için k = 1 ve y = 5; p = 3 için k = 3 ve y = 9; p = 2 için k = 4 ve y = 8 bulunur. Her üç y değeri de kendi en büyük asal böleniyle uyumludur.
Tanımda geçen p(y) değerinin y'nin en büyük asal böleni olması koşulunun doğrulanması gerekir.
3
\langle x \rangle = 5, \langle x \rangle = 8 ve \langle x \rangle = 9 eşitliklerini sağlayan iki basamaklı x sayılarını bulmak.
\langle x \rangle = 5 için sadece x = 6 (tek basamaklı) bulunur. \langle x \rangle = 8 için x = 15 (iki basamaklı) ve x = 7 (tek basamaklı) bulunur. \langle x \rangle = 9 için x = 14, 18, 20 (iki basamaklı) değerleri elde edilir.
Elde edilen y değerleri için ayrı ayrı x değerlerini ararken en büyük asal bölen şartı ve iki basamaklılık koşulu birlikte değerlendirilir.
4
Bulunan iki basamaklı x değerlerini listelemek ve sayısını bulmak.
x = 14, 15, 18, 20 olmak üzere toplam 4 farklı değer elde edilir.
Soruda istenen iki basamaklı olma şartına uyan tüm x değerlerinin sayısını belirlemek çözümü tamamlar.

Anahtar Kavram

Özel olarak tanımlanmış bir işlem kuralını aşamalı ve koşullara dikkat ederek uygulama.

İpuçları

1
İçteki işlemi bir y değişkeni gibi düşünerek \langle y \rangle = 6 eşitliğini sağlayan y değerlerini arayarak başlayın.
2
y = p * k ifadesinde k + p = 6 denklemindeki p değerinin y'nin en büyük asal böleni olduğunu unutmayın. Bu durum y değerlerini sınırlar.
3
y değerlerini 5, 8 ve 9 bulduktan sonra, her biri için \langle x \rangle = y denklemini sağlayan iki basamaklı x sayılarını arayın. En büyük asal bölen şartını her x değeri için tekrar kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

Benzer kurallarla tanımlanmış fakat tek-çift sayı koşulu içeren başka bir özel işlem sorusu çözerek koşullu işlem takibi becerinizi pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, seçeneklerdeki değerlerin büyüklüğüne göre iki basamaklı küçük sayıları (10, 11, 12...) doğrudan formüle koyarak denemek mümkündür. Ancak bu yöntem zaman kaybettirici ve hata yapmaya müsaittir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 6Soru →
Her aa ve bb gerçel sayısı için Δ\Delta ve ⋆\star işlemleri aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır:
aΔb=3a−2ba \mathbin{\Delta} b = 3a - 2b
a⋆b=a⋅b−(a+b)a \mathbin{\star} b = a \cdot b - (a + b)
Buna göre,
(xΔ4)⋆3=11(x \mathbin{\Delta} 4) \mathbin{\star} 3 = 11

eşitliğini sağlayan xx gerçel sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Eşitliği sağlayan xx gerçel sayısı 5'tir.
Tanımlanan kurallar adım adım uygulandığında, dıştaki yıldız işlemi 2y−3=112y - 3 = 11 denklemine dönüşür ve buradan parantez içi değer olan 77 elde edilir. Üçgen işlemi ise 3x−8=73x - 8 = 7 denklemine dönüşür ve buradan bilinmeyen değer 5 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Parantez içindeki işlem olan xΔ4x \mathbin{\Delta} 4 ifadesine yy diyelim ve eşitliği yy cinsinden yazalım.
y⋆3=11y \mathbin{\star} 3 = 11 elde edilir.
İç içe geçmiş işlemleri daha kolay çözmek için en dıştaki işlemden başlayarak adım adım ilerlemek gerekir.
2
a⋆b=a⋅b−(a+b)a \mathbin{\star} b = a \cdot b - (a + b) tanımını y⋆3y \mathbin{\star} 3 ifadesine uygulayalım.
y⋅3−(y+3)=11  ⟹  3y−y−3=11  ⟹  2y−3=11y \cdot 3 - (y + 3) = 11 \implies 3y - y - 3 = 11 \implies 2y - 3 = 11 elde edilir.
Tanımlanan işlem kuralına göre birinci bileşen ile ikinci bileşenin çarpımından bileşenlerin toplamı çıkarılmalıdır.
3
2y−3=112y - 3 = 11 denklemini çözerek yy değerini bulalım.
2y=14  ⟹  y=72y = 14 \implies y = 7 bulunur.
Bilinmeyen yy değerini yalnız bırakmak için eşitliğin her iki tarafına 3 eklenip 2'ye bölünür.
4
y=7y = 7 değerini ilk başta yaptığımız y=xΔ4y = x \mathbin{\Delta} 4 eşitliğinde yerine koyalım ve Δ\Delta işlemini uygulayalım.
xΔ4=7  ⟹  3x−2(4)=7x \mathbin{\Delta} 4 = 7 \implies 3x - 2(4) = 7 elde edilir.
aΔb=3a−2ba \mathbin{\Delta} b = 3a - 2b tanımı gereğince birinci bileşenin 3 katından ikinci bileşenin 2 katı çıkarılmalıdır.
5
3x−8=73x - 8 = 7 denklemini çözerek xx değerini bulalım.
3x=15  ⟹  x=53x = 15 \implies x = 5 bulunur.
Bilinmeyen xx değerini yalnız bırakmak için eşitliğin her iki tarafına 8 eklenip 3'e bölünür.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı sembollerin kurallarına uygun olarak denklem çözme ve işlem önceliğine dikkat etme.
Soru 7Soru →
Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde ⋄\diamond ve ∘\circ işlemleri aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır:
a⋄b=(a+1)⋅(b−1) a \diamond b = (a + 1) \cdot (b - 1)
a∘b=2a−b a \circ b = 2a - b
Buna göre,
(x⋄3)∘5=11 (x \diamond 3) \circ 5 = 11
eşitliğini sağlayan xx değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Denklemi sağlayan x değeri 3'tür.
Verilen eşitlikte dıştaki ∘\circ işleminin kuralı uygulandığında 2(x⋄3)−5=112(x \diamond 3) - 5 = 11 elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde 2(x⋄3)=16  ⟹  x⋄3=82(x \diamond 3) = 16 \implies x \diamond 3 = 8 bulunur. Daha sonra ⋄\diamond işleminin kuralı uygulandığında (x+1)⋅(3−1)=8  ⟹  2(x+1)=8  ⟹  x+1=4  ⟹  x=3(x + 1) \cdot (3 - 1) = 8 \implies 2(x + 1) = 8 \implies x + 1 = 4 \implies x = 3 olarak elde edilir. Bu nedenle doğru değer 3 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Parantez içindeki (x⋄3)(x \diamond 3) ifadesini tek bir değişken (örneğin YY) gibi kabul ederek d��ştaki ∘\circ işlemini uygularız.
Y∘5=2Y−5=11Y \circ 5 = 2Y - 5 = 11 denkleminden 2Y=16  ⟹  Y=82Y = 16 \implies Y = 8 elde edilir. Buradan x⋄3=8x \diamond 3 = 8 olduğu bulunur.
İşlem önceliğine göre önce dıştaki işlemin kuralı uygulanarak parantez içindeki ifadenin değeri belirlenmelidir.
2
Bulunan x⋄3=8x \diamond 3 = 8 eşitliğine ⋄\diamond işleminin kuralı uygulanır.
(x+1)⋅(3−1)=8  ⟹  2(x+1)=8(x + 1) \cdot (3 - 1) = 8 \implies 2(x + 1) = 8 denklemi elde edilir.
xx değişkenini bulabilmek için tanımlanan birinci işlemin kuralını uygularız.
3
2(x+1)=82(x + 1) = 8 denklemi çözülerek bilinmeyen değer yalnız bırakılır.
x+1=4  ⟹  x=3x + 1 = 4 \implies x = 3 bulunur.
Eşitliğin her iki tarafı 2'ye bölünerek ve ardından 1 çıkarılarak xx değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

Özel Tanımlı İşlemler
Özel Tanımlı İşlemler Alıştırma Soruları — ALES | Examkin