Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÖzel Tanımlı İşlemler
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ⋆\star işlemi, her aa ve bb gerçel sayıları için
a⋆b=2a−3b+2(b⋆a)a \star b = 2a - 3b + 2(b \star a)
eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, x⋆2=6x \star 2 = 6 eşitliğini sağlayan xx gerçel sayısı kaçtır?

  1. A
    -1
  2. B
    0
  3. C
    2
  4. D
    4
  5. 5Cevap

Cevap

Eşitliği sağlayan x değeri 5'tir.
Verilen işlem tanımında değişkenlerin rolleri değiştirilerek elde edilen b⋆a=2b−3a+2(a⋆b)b \star a = 2b - 3a + 2(a \star b) ifadesi, ana denklemde yerine yazıldığında a⋆b=4a−b3a \star b = \frac{4a - b}{3} bağıntısına ulaşılır. Bu genel formülde a=xa = x ve b=2b = 2 yazılıp 66'ya eşitlendiğinde x=5x = 5 sonucu bulunur. Bu durum doğru cevabı veren seçenekte yer almaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Tanımlanan işlemde a ve b değişkenlerinin yerlerini değiştirerek ikinci bir eşitlik elde edin.
b⋆a=2b−3a+2(a⋆b)b \star a = 2b - 3a + 2(a \star b) eşitliği elde edilir.
a⋆ba \star b ifadesini tek bir bilinmeyen olarak yalnız bırakabilmek için sistemdeki diğer bilinmeyen olan b⋆ab \star a ifadesinin değerini belirlemek gerekir.
2
Elde edilen b⋆ab \star a ifadesini, orijinal işlem tanımında yerine yazın.
a⋆b=2a−3b+2[2b−3a+2(a⋆b)]a \star b = 2a - 3b + 2[2b - 3a + 2(a \star b)] eşitliği elde edilir.
İki bilinmeyenli denklem sistemi mantığıyla değişkenlerden birini diğeri cinsinden yazarak tek bilinmeyenli bir denklem elde etmek hedeflenir.
3
Denklemi parantezleri açarak düzenleyin.
a⋆b=2a−3b+4b−6a+4(a⋆b)  ⟹  a⋆b=−4a+b+4(a⋆b)a \star b = 2a - 3b + 4b - 6a + 4(a \star b) \implies a \star b = -4a + b + 4(a \star b) elde edilir.
Benzer terimleri bir araya getirerek denklemi sadeleştirmek gerekir.
4
a⋆ba \star b ifadesini yalnız bırakarak işlemin genel kuralını bulun.
3(a⋆b)=4a−b  ⟹  a⋆b=4a−b33(a \star b) = 4a - b \implies a \star b = \frac{4a - b}{3} kuralı bulunur.
Herhangi bir sayı çifti için işlemin doğrudan sonucunu verecek bağıntıyı elde etmek amaçlanır.
5
Bulunan genel kuralda a yerine x ve b yerine 2 yazarak sonucu 6'ya eşitleyin ve x değerini çözün.
4x−23=6  ⟹  4x−2=18  ⟹  4x=20  ⟹  x=5\frac{4x - 2}{3} = 6 \implies 4x - 2 = 18 \implies 4x = 20 \implies x = 5 olarak bulunur.
Soruda verilen x⋆2=6x \star 2 = 6 koşulunu sağlayan bilinmeyen x değerini belirlemek için denklem çözülür.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı işlemlerde, işlem kuralı içinde işlemin kendisinin ters veya yer değiştirmiş hâli bulunduğunda, değişkenlerin yerleri değiştirilerek bir denklem sistemi oluşturulur ve işlemin sadeleşmiş genel formülü elde edilir.
Bu soruyu puanla

Konular

Özel Tanımlı İşlemler

Bu konudan daha fazla soru