Examkin

Soru

Zorluk: ZorÖzel Tanımlı İşlemler

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde ⊕\oplus ve ⊗\otimes işlemleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

x⊕y=∣x2−y∣x \oplus y = |x^2 - y|
x⊗y=EBOB(x,y)⋅EKOK(x,y)−(x+y)x \otimes y = \text{EBOB}(x, y) \cdot \text{EKOK}(x, y) - (x + y)

Buna göre,

(a⊕17)⊗6=34(a \oplus 17) \otimes 6 = 34

eşitliğini sağlayan aa pozitif tam sayılarının toplamı kaçtır?
  1. A
    5
  2. 8Cevap
  3. C
    10
  4. D
    15
  5. E
    3

Cevap

Eşitliği sağlayan aa pozitif tam sayılarının toplamı 8'dir.
Verilen ⊗\otimes işlemindeki EBOB ve EKOK terimlerinin çarpımı, sayıların kendi çarpımı olan x⋅yx \cdot y ifadesine eşittir. Bu sadeleştirme yapıldığında işlem x⊗y=x⋅y−x−yx \otimes y = x \cdot y - x - y halini alır. Eşitlikte y=6y = 6 ve sonuç 3434 olarak yerine yazıldığında, a⊕17a \oplus 17 ifadesinin değeri 88 olarak bulunur. ⊕\oplus işleminin tanımından ∣a2−17∣=8|a^2 - 17| = 8 elde edilir. Bu mutlak değerli eşitliği sağlayan pozitif tam sayılar 33 ve 55 olup toplamları 88 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
EBOB ve EKOK çarpım özelliğini kullanarak ⊗\otimes işlemini sadeleştirmek
x⊗y=x⋅y−(x+y)x \otimes y = x \cdot y - (x + y)
Herhangi iki pozitif tam sayı için EBOB(x,y)⋅EKOK(x,y)=x⋅y\text{EBOB}(x, y) \cdot \text{EKOK}(x, y) = x \cdot y eşitliği geçerlidir. Bu özelliği yerine koyarak işlemi daha basit bir cebirsel forma getiririz.
2
Verilen denklemde a⊕17a \oplus 17 yerine kk yazıp kk değerini bulmak
k⊗6=34⇒6k−(k+6)=34⇒5k−6=34⇒5k=40⇒k=8k \otimes 6 = 34 \Rightarrow 6k - (k + 6) = 34 \Rightarrow 5k - 6 = 34 \Rightarrow 5k = 40 \Rightarrow k = 8
a⊕17a \oplus 17 ifadesine geçmeden önce dıştaki işlemin sonucunu bularak içteki bilinmeyene ulaşmayı hedefleriz.
3
a⊕17=8a \oplus 17 = 8 eşitliğini işlem tanımına göre mutlak değerli denklem olarak çözmek
∣a2−17∣=8|a^2 - 17| = 8 olur. Buradan iki alt durum incelenir:
1) a2−17=8⇒a2=25⇒a=5a^2 - 17 = 8 \Rightarrow a^2 = 25 \Rightarrow a = 5 (Pozitif tam sayı dendiği için a=−5a = -5 elenir)
2) a2−17=−8⇒a2=9⇒a=3a^2 - 17 = -8 \Rightarrow a^2 = 9 \Rightarrow a = 3 (Pozitif tam sayı dendiği için a=−3a = -3 elenir)
Mutlak değerli bir denklemin hem pozitif hem de negatif eşitlik durumlarını inceleyerek tüm olası pozitif tam sayı köklerini bulmak gerekir.
4
Bulunan aa değerlerini toplamak
3+5=83 + 5 = 8
Soruda bizden istenen, denklemi sağlayan tüm aa pozitif tam sayılarının toplamıdır.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı işlemlerde temel aritmetik özelliklerin (EBOB-EKOK çarpımı) kullanılması ve mutlak değerli denklemlerin çözümü
Bu soruyu puanla

Konular

Özel Tanımlı İşlemler

Bu konudan daha fazla soru