Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Bir ABCABC üçgeninde [AD][AD] kenarortaydır. ∣AB∣=8 cm|AB| = 8\text{ cm}, ∣AC∣=12 cm|AC| = 12\text{ cm} ve m(BAC^)>90∘m(\widehat{BAC}) > 90^\circ olduğuna göre, ∣AD∣=x|AD| = x'in alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaç santimetredir?

  1. A
    17
  2. 25Cevap
  3. C
    28
  4. D
    33
  5. E
    42

Cevap

Farklı tam sayı değerlerinin toplamı 25 santimetredir.
Kenarortayı uzatarak oluşturulan paralelkenarda, geniş açı kısıtlaması ardışık olan açıyı dar açı yapar. Dar açının karşısındaki kenar olan 2x2x için (2x)2<82+122(2x)^2 < 8^2 + 12^2 bağıntısı kurulur. Buradan x<52x < \sqrt{52} elde edilir. Üçgen eşitsizliğinden gelen x>2x > 2 sınırı ile birleştirildiğinde 2<x<7,212 < x < 7,21 aralığındaki tam sayıların toplamı 25 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kenarortay uzunluğu için üçgen eşitsizliği sınırlarını belirlemek amacıyla üçgeni bir paralelkenara tamamlayalım.
[AD][AD] kenarortayını kendi uzunluğu kadar uzatarak bir EE noktası alalım ve ABECABEC paralelkenarını oluşturalım. Bu durumda, diagonal AE=2xAE = 2x ve karşı kenar BE=∣AC∣=12 cmBE = |AC| = 12\text{ cm} olur. ABEABE üçgeninde üçgen eşitsizliği uygulanırsa: ∣12−8∣<2x<12+8  ⟹  4<2x<20  ⟹  2<x<10|12 - 8| < 2x < 12 + 8 \implies 4 < 2x < 20 \implies 2 < x < 10 elde edilir.
Açı kısıtlamasından bağımsız olarak kenarortay uzunluğunun alabileceği genel değer aralığını belirlemek için.
2
Geniş açı kısıtlamasını (m(BAC^)>90∘m(\widehat{BAC}) > 90^\circ) kullanmak için paralelkenarın açı özelliklerini uygulayalım.
Paralelkenarda ardışık açıların toplamı 180∘180^\circ olduğundan, m(BAC^)+m(ABE^)=180∘m(\widehat{BAC}) + m(\widehat{ABE}) = 180^\circ olur. Dolayısıyla m(BAC^)>90∘m(\widehat{BAC}) > 90^\circ ise m(ABE^)<90∘m(\widehat{ABE}) < 90^\circ (dar açı) olmalıdır.
Açı kısıtlamasını kenar uzunlukları arasındaki bir eşitsizliğe dönüştürmek için.
3
ABEABE üçgeninde ABE^\widehat{ABE} açısının dar açı olması durumuna göre eşitsizlik kuralını uygulayalım.
Dar açının karşısındaki kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından küçük olmalıdır: AE2<AB2+BE2  ⟹  (2x)2<82+122  ⟹  4x2<64+144  ⟹  4x2<208  ⟹  x2<52AE^2 < AB^2 + BE^2 \implies (2x)^2 < 8^2 + 12^2 \implies 4x^2 < 64 + 144 \implies 4x^2 < 208 \implies x^2 < 52 elde edilir. Buradan x<52x < \sqrt{52} (yaklaşık 7,217,21) bulunur.
Dar açı kuralından gelen üst sınırı belirlemek için.
4
Elde edilen iki eşitsizliği birleştirerek xx için ortak aralığı bulalım ve bu aralıktaki tam sayıların toplamını hesaplayalım.
2<x<522 < x < \sqrt{52} aralığında xx'in alabileceği tam sayı değerleri 3,4,5,6,73, 4, 5, 6, 7 olur. Bu değerlerin toplamı: 3+4+5+6+7=253 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25 santimetredir.
Sorunun bizden istediği nihai sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Bir üçgende kenarortay uzunluğu, üçgeni paralelkenara tamamlama yöntemi ve açı-kenar bağıntıları (dar/geniş açı sınırları) kullanılarak sınırlandırılır.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Bu konudan daha fazla soru