Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları Alıştırma Soruları — ALES

Soru 1Soru →

Şekildeki $ABC$ üçgeninde $|AB| = 6\text{ cm}$ ve $|AC| = 9\text{ cm}$ 'dir. Buna göre, $BC$ kenarının uzunluğunun alabileceği en büyük tam sayı değeri kaç santimetredir?

15

14

13

8

3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

BC kenarının alabileceği en büyük tam sayı değeri 14 santimetredir.

Üçgen eşitsizliği kuralına göre, bir üçgende bilinmeyen kenarın uzunluğu diğer iki kenarın toplamından küçük olmalıdır. Burada

|BC| < 6 + 9 = 15

olmalıdır. Dolayısıyla,

BC

kenarının alabileceği en büyük tam sayı değeri 14'tür.

Adım Adım Çözüm

1

Üçgen eşitsizliği kuralını yazın.

|AB - AC| < |BC| < |AB| + |AC|

Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunluklarının farkının mutlak değerinden büyük, toplamından küçük olmalıdır.

2

Verilen değerleri formülde yerine koyarak sınırları hesaplayın.

|6 - 9| < |BC| < 6 + 9 \Rightarrow 3 < |BC| < 15

elde edilir.

|AB| = 6\text{ cm}

ve

|AC| = 9\text{ cm}

değerlerini kullanarak

BC

kenarının sınırlarını bulmak için.

3

Elde edilen aralıktaki en büyük tam sayı değerini belirleyin.

|BC|

en fazla 14 olabilir.

15'ten küçük en büyük tam sayı 14 olduğundan.

Anahtar Kavram

Üçgen Eşitsizliği

Soru 2Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde, $D$ noktası $[BC]$ kenar�� üzerinde, bu kenarın uç noktalarından farklı bir noktadır. $|AB| = 9\text{ cm}$ , $|AD| = 7\text{ cm}$ ve $|AC| = 12\text{ cm}$ 'dir. Buna göre, $BC$ kenarının uzunluğunun alabileceği en büyük tam sayı değeri ile en küçük tam sayı değerinin toplamı kaç santimetredir?

34

35

36

37

38

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Doğru cevap 36 santimetredir.

Doğru olan 36 değerine ulaşmak için,

[AD]

keseninin

7\text{ cm}

olmasının

BC

kenarını alttan sınırladığı görülmelidir.

AD

kenarı

[BC]

kenarına dik olduğunda

BC

en küçük değerini alır ve bu değer

\sqrt{32} + \sqrt{95} \approx 15,41\text{ cm}

'dir. Buradan en küçük tam sayı değeri 16 olur. Üçgen eşitsizliğine göre en büyük değer ise 21'den küçük olmalıdır, yani en büyük tam sayı değeri 20'dir. Bu iki değerin toplamı 36 yapar.

Adım Adım Çözüm

1

Açı-kenar bağıntılarını kullanarak

D

noktasının konumuna göre

[BC]

üzerindeki doğru parçalarının sınırlarını belirlemek.

D

noktası

[BC]

üzerinde olduğundan

m(\widehat{ADB}) + m(\widehat{ADC}) = 180^\circ

olur. Bu açılardan en az biri

90^\circ

veya daha büyüktür.

Doğrusal bir doğru parçası üzerindeki bir noktada oluşan komşu iki açının toplamı

180^\circ

olmalıdır.

2

Dar/geniş açı bağıntılarını kullanarak en küçük sınır durumunu (yüksekliğin

AD

olduğu durum) hesaplamak.

AD \perp BC

olduğunda

BC

en küçük değerini alır. Bu durumda

BD = \sqrt{9^2 - 7^2} = \sqrt{32} \approx 5,66\text{ cm}

ve

CD = \sqrt{12^2 - 7^2} = \sqrt{95} \approx 9,75\text{ cm}

olur. Buradan

BC

en az

\sqrt{32} + \sqrt{95} \approx 15,41\text{ cm}

olmalıdır.

Bir noktanın bir doğruya olan en kısa mesafesi dikme (yükseklik) olduğundan, yükseklik en fazla

AD = 7\text{ cm}

olabilir. Bu da tabanın minimum s��nırını belirler.

3

ABC

üçgeninde üçgen eşitsizliğini kullanarak en büyük sınır değerini bulmak.

|BC| < |AB| + |AC| \Rightarrow |BC| < 9 + 12 = 21\text{ cm}

olmalıdır.

Üçgen oluşturabilme kuralı gereğince bir kenar uzunluğu diğer iki kenar uzunluğunun toplamından küçük olmalıdır.

4

Elde edilen aralıktaki en büyük ve en küçük tam sayı değerlerini belirleyip toplamak.

15,41 \leq |BC| < 21

aralığında en küçük tam sayı değeri 16, en büyük tam sayı değeri 20'dir. Toplamları

16 + 20 = 36

'dır.

Sınır değerleri arasındaki en küçük ve en büyük tam sayılar belirlenerek soru çözülür.

Anahtar Kavram

Üçgende yardımcı elemanlar ile kenar uzunlukları arasındaki açı-kenar ilişkileri ve yükseklik sınırı.

İpuçları

1

Bir üçgende bir köşeden karşı kenara çizilen doğru parçası, o köşeden indirilen yükseklikten daha kısa olamaz. Bu kuralı kullanarak en küçük sınır değerini bulmaya çalışın.

2

AD

uzunluğu en küçük değerini

AD \perp BC

olduğunda alır. Bu durumda oluşacak iki dik üçgende Pisagor teoremini uygulayarak

BD

ve

CD

uzunluklarının alt sınırlarını bulun.

3

BC

uzunluğunun en küçük değeri için

BC = \sqrt{9^2 - 7^2} + \sqrt{12^2 - 7^2}

toplamını hesaplayın. En büyük değer için ise

ABC

üçgenindeki genel üçgen eşitsizliğini (

BC < AB + AC

) göz önünde bulundurun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, geniş açılı bir üçgende çizilen iç kesenlerin sınır değerlerini bulmaya yönelik soruları inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, Stewart Teoremi kullanılarak

AD^2 = \frac{AB^2 \cdot CD + AC^2 \cdot BD}{BC} - BD \cdot CD

bağıntısı yardımıyla,

BD = x

ve

CD = y

değişkenleri için

x+y

toplamının minimum değeri türev veya eşitsizlik analizleri ile de bulunabilir. Ancak yükseklik sınırını kullanmak çok daha hızlı ve pratiktir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 3Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $[AD]$ kenarortaydır. $|AB| = 8\text{ cm}$ , $|AC| = 12\text{ cm}$ ve $m(\widehat{BAC}) > 90^\circ$ olduğuna göre, $|AD| = x$ 'in alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaç santimetredir?

17

25

28

33

42

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Farklı tam sayı değerlerinin toplamı 25 santimetredir.

Kenarortayı uzatarak oluşturulan paralelkenarda, geniş açı kısıtlaması ardışık olan açıyı dar açı yapar. Dar açının karşısındaki kenar olan

2x

için

(2x)^2 < 8^2 + 12^2

bağıntısı kurulur. Buradan

x < \sqrt{52}

elde edilir. Üçgen eşitsizliğinden gelen

x > 2

sınırı ile birleştirildiğinde

2 < x < 7,21

aralığındaki tam sayıların toplamı 25 olur.

Adım Adım Çözüm

1

Kenarortay uzunluğu için üçgen eşitsizliği sınırlarını belirlemek amacıyla üçgeni bir paralelkenara tamamlayalım.

[AD]

kenarortayını kendi uzunluğu kadar uzatarak bir

E

noktası alalım ve

ABEC

paralelkenarını oluşturalım. Bu durumda, diagonal

AE = 2x

ve karşı kenar

BE = |AC| = 12\text{ cm}

olur.

ABE

üçgeninde üçgen eşitsizliği uygulanırsa:

|12 - 8| < 2x < 12 + 8 \implies 4 < 2x < 20 \implies 2 < x < 10

elde edilir.

Açı kısıtlamasından bağımsız olarak kenarortay uzunluğunun alabileceği genel değer aralığını belirlemek için.

2

Geniş açı kısıtlamasını (

m(\widehat{BAC}) > 90^\circ

) kullanmak için paralelkenarın açı özelliklerini uygulayalım.

Paralelkenarda ardışık açıların toplamı

180^\circ

olduğundan,

m(\widehat{BAC}) + m(\widehat{ABE}) = 180^\circ

olur. Dolayısıyla

m(\widehat{BAC}) > 90^\circ

ise

m(\widehat{ABE}) < 90^\circ

(dar açı) olmalıdır.

Açı kısıtlamasını kenar uzunlukları arasındaki bir eşitsizliğe dönüştürmek için.

3

ABE

üçgeninde

\widehat{ABE}

açısının dar açı olması durumuna göre eşitsizlik kuralını uygulayalım.

Dar açının karşısındaki kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından küçük olmalıdır:

AE^2 < AB^2 + BE^2 \implies (2x)^2 < 8^2 + 12^2 \implies 4x^2 < 64 + 144 \implies 4x^2 < 208 \implies x^2 < 52

elde edilir. Buradan

x < \sqrt{52}

(yaklaşık

7,21

) bulunur.

Dar açı kuralından gelen üst sınırı belirlemek için.

4

Elde edilen iki eşitsizliği birleştirerek

x

için ortak aralığı bulalım ve bu aralıktaki tam sayıların toplamını hesaplayalım.

2 < x < \sqrt{52}

aralığında

x

'in alabileceği tam sayı değerleri

3, 4, 5, 6, 7

olur. Bu değerlerin toplamı:

3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25

santimetredir.

Sorunun bizden istediği nihai sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Bir üçgende kenarortay uzunluğu, üçgeni paralelkenara tamamlama yöntemi ve açı-kenar bağıntıları (dar/geniş açı sınırları) kullanılarak sınırlandırılır.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 4Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde açılar arasında $m(\widehat{A}) > m(\widehat{B}) > m(\widehat{C})$ sıralaması bulunmaktadır.

$|AC| = 8\text{ cm}$ ve $|BC| = 11\text{ cm}$ olduğuna göre, $AB$ kenarının uzunluğunun alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaç santimetredir?

18

20

22

25

28

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

AB kenarının uzunluğunun alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı 22 santimetredir.

Açı-kenar bağıntısına göre büyük açının karşısında büyük kenar bulunur. Verilen açı sıralamasına göre karşılarındaki kenarlar arasında da |BC| > |AC| > |AB| ilişkisi olmalıdır. Buradan 11 > 8 > x elde edilir, yani x < 8'dir. Diğer taraftan üçgen eşitsizliğine göre x değeri diğer iki kenarın farkından büyük olmalıdır: x > 11 - 8 yani x > 3. Bu iki koşul birleştirildiğinde 3 < x < 8 aralığı elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılar 4, 5, 6, 7 olup toplamları 22'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Üçgen eşitsizliği kuralını uygulayarak başlangıç sınırlarını belirleyin.

|11 - 8| < |AB| < 11 + 8 \implies 3 < x < 19

Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunluklarının farkının mutlak değerinden büyük, toplamından küçük olmalıdır.

2

Açı-kenar bağıntılarını kullanarak ek sınırlamaları belirleyin.

m(\widehat{A}) > m(\widehat{B}) > m(\widehat{C}) \implies |BC| > |AC| > |AB| \implies 11 > 8 > x \implies x < 8

Bir üçgende büyük açının karşısında büyük kenar, küçük açının karşısında küçük kenar bulunur.

3

Elde edilen iki eşitsizliği birleştirerek x için ortak aralığı bulun.

3 < x < 8

Hem üçgen eşitsizliğini hem de açı-kenar bağıntısından gelen sınırlamayı aynı anda sağlamak gerekir.

4

Bu aralıktaki tam sayı değerlerini belirleyip toplayın.

x \in \{4, 5, 6, 7\} \implies 4 + 5 + 6 + 7 = 22

Soru bizden AB kenarının alabileceği tam sayı değerlerinin toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Üçgende bir kenar uzunluğu diğer iki kenarın toplamı ile farkı arasındadır. Ayrıca, büyük açının karşısında büyük kenar bulunur.

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar