Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorÜçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Bir ABCABC üçgeninde, DD noktası [BC][BC] kenar�� üzerinde, bu kenarın uç noktalarından farklı bir noktadır. ∣AB∣=9 cm|AB| = 9\text{ cm}, ∣AD∣=7 cm|AD| = 7\text{ cm} ve ∣AC∣=12 cm|AC| = 12\text{ cm}'dir. Buna göre, BCBC kenarının uzunluğunun alabileceği en büyük tam sayı değeri ile en küçük tam sayı değerinin toplamı kaç santimetredir?

  1. A
    34
  2. B
    35
  3. 36Cevap
  4. D
    37
  5. E
    38

Cevap

Doğru cevap 36 santimetredir.
Doğru olan 36 değerine ulaşmak için, [AD][AD] keseninin 7 cm7\text{ cm} olmasının BCBC kenarını alttan sınırladığı görülmelidir. ADAD kenarı [BC][BC] kenarına dik olduğunda BCBC en küçük değerini alır ve bu değer 32+95≈15,41 cm\sqrt{32} + \sqrt{95} \approx 15,41\text{ cm}'dir. Buradan en küçük tam sayı değeri 16 olur. Üçgen eşitsizliğine göre en büyük değer ise 21'den küçük olmalıdır, yani en büyük tam sayı değeri 20'dir. Bu iki değerin toplamı 36 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Açı-kenar bağıntılarını kullanarak DD noktasının konumuna göre [BC][BC] üzerindeki doğru parçalarının sınırlarını belirlemek.
DD noktası [BC][BC] üzerinde olduğundan m(ADB^)+m(ADC^)=180∘m(\widehat{ADB}) + m(\widehat{ADC}) = 180^\circ olur. Bu açılardan en az biri 90∘90^\circ veya daha büyüktür.
Doğrusal bir doğru parçası üzerindeki bir noktada oluşan komşu iki açının toplamı 180∘180^\circ olmalıdır.
2
Dar/geniş açı bağıntılarını kullanarak en küçük sınır durumunu (yüksekliğin ADAD olduğu durum) hesaplamak.
AD⊥BCAD \perp BC olduğunda BCBC en küçük değerini alır. Bu durumda BD=92−72=32≈5,66 cmBD = \sqrt{9^2 - 7^2} = \sqrt{32} \approx 5,66\text{ cm} ve CD=122−72=95≈9,75 cmCD = \sqrt{12^2 - 7^2} = \sqrt{95} \approx 9,75\text{ cm} olur. Buradan BCBC en az 32+95≈15,41 cm\sqrt{32} + \sqrt{95} \approx 15,41\text{ cm} olmalıdır.
Bir noktanın bir doğruya olan en kısa mesafesi dikme (yükseklik) olduğundan, yükseklik en fazla AD=7 cmAD = 7\text{ cm} olabilir. Bu da tabanın minimum s��nırını belirler.
3
ABCABC üçgeninde üçgen eşitsizliğini kullanarak en büyük sınır değerini bulmak.
∣BC∣<∣AB∣+∣AC∣⇒∣BC∣<9+12=21 cm|BC| < |AB| + |AC| \Rightarrow |BC| < 9 + 12 = 21\text{ cm} olmalıdır.
Üçgen oluşturabilme kuralı gereğince bir kenar uzunluğu diğer iki kenar uzunluğunun toplamından küçük olmalıdır.
4
Elde edilen aralıktaki en büyük ve en küçük tam sayı değerlerini belirleyip toplamak.
15,41≤∣BC∣<2115,41 \leq |BC| < 21 aralığında en küçük tam sayı değeri 16, en büyük tam sayı değeri 20'dir. Toplamları 16+20=3616 + 20 = 36'dır.
Sınır değerleri arasındaki en küçük ve en büyük tam sayılar belirlenerek soru çözülür.

Anahtar Kavram

Üçgende yardımcı elemanlar ile kenar uzunlukları arasındaki açı-kenar ilişkileri ve yükseklik sınırı.

İpuçları

1
Bir üçgende bir köşeden karşı kenara çizilen doğru parçası, o köşeden indirilen yükseklikten daha kısa olamaz. Bu kuralı kullanarak en küçük sınır değerini bulmaya çalışın.
2
ADAD uzunluğu en küçük değerini AD⊥BCAD \perp BC olduğunda alır. Bu durumda oluşacak iki dik üçgende Pisagor teoremini uygulayarak BDBD ve CDCD uzunluklarının alt sınırlarını bulun.
3
BCBC uzunluğunun en küçük değeri için BC=92−72+122−72BC = \sqrt{9^2 - 7^2} + \sqrt{12^2 - 7^2} toplamını hesaplayın. En büyük değer için ise ABCABC üçgenindeki genel üçgen eşitsizliğini (BC<AB+ACBC < AB + AC) göz önünde bulundurun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, geniş açılı bir üçgende çizilen iç kesenlerin sınır değerlerini bulmaya yönelik soruları inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, Stewart Teoremi kullanılarak AD2=AB2⋅CD+AC2⋅BDBC−BD⋅CDAD^2 = \frac{AB^2 \cdot CD + AC^2 \cdot BD}{BC} - BD \cdot CD bağıntısı yardımıyla, BD=xBD = x ve CD=yCD = y değişkenleri için x+yx+y toplamının minimum değeri türev veya eşitsizlik analizleri ile de bulunabilir. Ancak yükseklik sınırını kullanmak çok daha hızlı ve pratiktir.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Bu konudan daha fazla soru