Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİki Doğrunun Birbirine Göre Durumu

Dik koordinat düzleminde, birbirine dik olan d1d_1 ve d2d_2 doğruları xx-ekseni üzerindeki bir AA noktasında kesişmektedir. d1d_1 doğrusu yy-eksenini (0,4)(0, 4) noktasında, d2d_2 doğrusu ise yy-eksenini (0,−9)(0, -9) noktasında kesmektedir. Buna göre; köşeleri AA noktası, d1d_1 doğrusunun yy-eksenini kestiği nokta ve d2d_2 doğrusunun yy-eksenini kestiği nokta olan üçgenin alanı kaç birimkaredir?

  1. A
    12
  2. B
    18
  3. 39Cevap
  4. D
    27
  5. E
    78

Cevap

Köşeleri kesim noktaları olan üçgenin alanı 39 birimkaredir.
Eğimleri çarpımı −1-1 olan doğruların kesişim noktasının apsisi 66 veya −6-6 olarak bulunur. y-ekseni üzerindeki taban uzunluğu 1313 birim ve bu tabana ait yükseklik 66 birim olduğundan üçgenin alanı 3939 birimkare olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kesişim noktası AA'yı koordinat düzleminde (k,0)(k, 0) olarak belirlemek ve doğruların eğimlerini yazmak.
d1d_1 doğrusunun eğimi m1=−4km_1 = -\frac{4}{k} ve d2d_2 doğrusunun eğimi m2=9km_2 = \frac{9}{k} olarak bulunur.
Doğruların eksenleri kestiği noktalar bilindiği için iki noktadan geçen doğrunun eğim formülü kullanılır.
2
Birbirine dik olan iki doğrunun eğimler çarpımının −1-1 olması kuralın�� uygulamak.
m1⋅m2=−1⇒(−4k)⋅(9k)=−1⇒k2=36⇒k=6m_1 \cdot m_2 = -1 \Rightarrow \left(-\frac{4}{k}\right) \cdot \left(\frac{9}{k}\right) = -1 \Rightarrow k^2 = 36 \Rightarrow k = 6 veya k=−6k = -6 elde edilir.
d1d_1 ve d2d_2 doğrularının dik kesiştiği verilmiştir.
3
Köşe koordinatları A(6,0)A(6, 0) veya A(−6,0)A(-6, 0), B(0,4)B(0, 4) ve C(0,−9)C(0, -9) olan üçgenin alanını hesaplamak.
Taban uzunluğu ∣BC∣=4−(−9)=13|BC| = 4 - (-9) = 13 birim, bu tabana ait yükseklik ∣OA∣=6|OA| = 6 birimdir. Alan = 13×62=39\frac{13 \times 6}{2} = 39 birimkaredir.
Üçgenin tabanı y-ekseni üzerinde olduğundan taban uzunluğu iki nokta arasındaki uzaklıktan, yükseklik ise kesim noktasının orijine uzaklığından bulunur.

Anahtar Kavram

Birbirine dik iki doğrunun eğimleri çarpımı −1-1'dir.

Alternatif Yöntem

Öklid Bağıntısı yardımıyla çözüm: d1⊥d2d_1 \perp d_2 olduğundan ve doğrular yy-eksenini (0,4)(0,4) ve (0,−9)(0,-9) noktalarında kesip xx-ekseni üzerindeki A(k,0)A(k,0) noktasında kesiştiklerinden, BACBAC açısı 90∘90^\circ olan bir dik üçgen oluşur. Orijin O(0,0)O(0,0) noktası olmak üzere, [OA][OA] yüksekliği hipotenüs [BC][BC]'ye inen dikmedir. Öklid'in yükseklik bağıntısına göre: OA2=OB⋅OC⇒k2=4⋅9=36⇒k=6OA^2 = OB \cdot OC \Rightarrow k^2 = 4 \cdot 9 = 36 \Rightarrow k = 6 (veya −6-6) bulunur. Buradan taban ∣BC∣=13|BC| = 13 birim ve yükseklik ∣OA∣=6|OA| = 6 birim olarak elde edilir. Alan ise 13×62=39\frac{13 \times 6}{2} = 39 birimkaredir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

İki Doğrunun Birbirine Göre Durumu

Bu konudan daha fazla soru