Examkin

İki Doğrunun Birbirine Göre Durumu

4 soru

Soru 1Soru →
Analitik düzlemde,
d1:y=3x−5d_1: y = 3x - 5
d2:ax+6y−12=0d_2: ax + 6y - 12 = 0
doğruları verilmektedir.

Bu doğrular birbirine dik olduğuna göre, aa kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Doğruların birbirine dik olması için aa değeri 22 olmalıdır.
Doğruların birbirine dik olması için eğimleri çarpımının −1-1 olması gerekir. Birinci doğrunun eğimi 33, ikinci doğrunun eğimi ise −a6-\frac{a}{6}'dır. Bu iki değer çarpılıp −1-1'e eşitlendiğinde aa değeri 22 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci doğrunun eğimini (m1m_1) bulmak
y=3x−5y = 3x - 5 doğrusunun eğimi m1=3m_1 = 3 olarak belirlenir.
y=mx+ny = mx + n biçimindeki bir doğrunun eğimi, xx değişkeninin katsayısı olan mm değerine eşittir.
2
İkinci doğrunun eğimini (m2m_2) aa cinsinden belirlemek
ax+6y−12=0  ⟹  6y=−ax+12  ⟹  y=−a6x+2ax + 6y - 12 = 0 \implies 6y = -ax + 12 \implies y = -\frac{a}{6}x + 2 yazılır. Buradan eğim m2=−a6m_2 = -\frac{a}{6} olarak bulunur.
Ax+By+C=0Ax + By + C = 0 biçimindeki doğruların eğimi −AB-\frac{A}{B} formülü ile hesaplanır.
3
Doğruların diklik koşulunu uygulayarak aa değerini hesaplamak
m1×m2=−1  ⟹  3×(−a6)=−1  ⟹  −a2=−1  ⟹  a=2m_1 \times m_2 = -1 \implies 3 \times \left(-\frac{a}{6}\right) = -1 \implies -\frac{a}{2} = -1 \implies a = 2 elde edilir.
Analitik düzlemde birbirine dik olan doğruların eğimleri çarpımı −1-1 olmak zorundadır.

Anahtar Kavram

Birbirine dik iki doğrunun eğimleri çarpımı -1'dir.
Soru 2Soru →
Denklemleri
d1:(a−2)x+3y−5=0d_1: (a-2)x + 3y - 5 = 0
d2:4x+(a+2)y+7=0d_2: 4x + (a+2)y + 7 = 0
olan doğruların koordinat düzleminde hiçbir ortak noktası bulunmadığına göre, aa parametresinin alabileceği pozitif değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Doğruların hiçbir ortak noktasının olmaması onların paralel olduğunu gösterir ve bu durumda eğimlerinin eşitliğinden a parametresinin alabileceği pozitif değer 4 olarak bulunur.
Verilen doğruların hiçbir ortak noktasının olmaması, bu doğruların paralel olduğu anlamına gelir. Paralel doğruların eğimleri eşittir. d1d_1 doğrusunun eğimi m1=−a−23m_1 = -\frac{a-2}{3} ve d2d_2 doğrusunun eğimi m2=−4a+2m_2 = -\frac{4}{a+2} dir. Bu eğimleri birbirine eşitlediğimizde −a−23=−4a+2-\frac{a-2}{3} = -\frac{4}{a+2} elde edilir. Buradan (a−2)(a+2)=12(a-2)(a+2) = 12 ve a2−4=12a^2 - 4 = 12 bulunur. Denklemi çözdüğümüzde a2=16a^2 = 16 elde edilir ki bu da a=4a = 4 veya a=−4a = -4 demektir. Soruda bizden pozitif değer istendiği için doğru cevap 4 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Doğruların koordinat düzleminde hiçbir ortak noktasının bulunmaması durumunun geometrik anlamını belirlemek.
d1d_1 ve d2d_2 doğruları birbirine paraleldir (d1∥d2d_1 \parallel d_2).
Koordinat düzleminde çakışık olmayan iki doğrunun kesişmemesi (ortak noktasının olmaması) ancak ve ancak bu doğruların paralel olmasıyla mümkündür.
2
Doğruların eğimlerini katsayıları cinsinden hesaplamak.
d1d_1 doğrusunun eğimi m1=−a−23m_1 = -\frac{a-2}{3} ve d2d_2 doğrusunun eğimi m2=−4a+2m_2 = -\frac{4}{a+2} olur.
Ax+By+C=0Ax + By + C = 0 biçimindeki bir doğrunun eğimi m=−ABm = -\frac{A}{B} formülüyle bulunur.
3
Paralel doğruların eğimlerinin eşit olması özelliğini kullanarak denklem kurmak ve çözmek.
−a−23=−4a+2⇒a−23=4a+2-\frac{a-2}{3} = -\frac{4}{a+2} \Rightarrow \frac{a-2}{3} = \frac{4}{a+2} ve buradan (a−2)(a+2)=12⇒a2−4=12⇒a2=16(a-2)(a+2) = 12 \Rightarrow a^2 - 4 = 12 \Rightarrow a^2 = 16 elde edilir.
Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir (m1=m2m_1 = m_2).
4
a2=16a^2 = 16 denklemini sağlayan değerleri bulup pozitif olanı seçmek.
a=4a = 4 veya a=−4a = -4 bulunur. Pozitif değer istendiği için a=4a = 4 alınır.
Karesi 16 olan sayılar 4 ve -4'tür. Sorudaki pozitiflik koşulunu sağlayan değer 4'tür.

Anahtar Kavram

İki doğrunun paralel olması durumunda eğimleri birbirine eşittir. Genel denklemi A1x+B1y+C1=0A_1x + B_1y + C_1 = 0 ve A2x+B2y+C2=0A_2x + B_2y + C_2 = 0 olan doğruların paralel olması için katsayılar arasında A1A2=B1B2≠C1C2\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} bağıntısı bulunmalıdır.

İpuçları

1
İki doğrunun hiçbir ortak noktasının olmaması, bu doğruların birbirine paralel olduğunu gösterir.
2
Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir. Doğruların eğimlerini xx ve yy katsayılarını kullanarak bulunuz.
3
d1d_1 için eğim −a−23-\frac{a-2}{3} ve d2d_2 için eğim −4a+2-\frac{4}{a+2} dir. Bu iki değeri birbirine eşitleyerek a2a^2 ifadesini bulunuz.

Daha Fazla Pratik

Eğer bu doğrular birbirine dik olsaydı, eğimleri çarpımının -1 olması gerekirdi. Benzer şekilde doğruların çakışık olması durumunda ise sabit terimlerin oranı da bu orana eşit olurdu.

Alternatif Yöntem

Paralellik durumunda x'in katsayıları oranının, y'nin katsayıları oranına eşit olması gerekir. Yani a−24=3a+2\frac{a-2}{4} = \frac{3}{a+2} bağıntısı doğrudan kurulabilir. Buradan içler dışlar çarpımı yapılarak (a−2)(a+2)=12⇒a2−4=12⇒a2=16(a-2)(a+2) = 12 \Rightarrow a^2 - 4 = 12 \Rightarrow a^2 = 16 elde edilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 3Soru →
Analitik düzlemde,
d1:y=2x+4d_1: y = 2x + 4
d2:x+y−1=0d_2: x + y - 1 = 0
d3:ax−2y+8=0d_3: ax - 2y + 8 = 0
doğruları aynı noktada kesiştiğine göre, aa kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Doğruların ortak kesişim noktası kullanılarak elde edilen 4 değeri
Üç doğrunun aynı noktada kesişmesi, bu doğruların tek bir ortak noktaya sahip olduğu anlamına gelir. İlk iki doğrunun ortak çözümüyle kesişim noktası P(−1,2)P(-1, 2) olarak belirlenir. Bu noktanın koordinatları üçüncü doğrunun denklemini de sağlamak zorunda olduğundan, denklemde xx yerine −1-1 ve yy yerine 22 yazıldığında a=4a = 4 değeri bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kesişim noktasını bulmak için birinci ve ikinci doğrunun denklemlerini ortak çözelim.
d1d_1 denklemindeki y=2x+4y = 2x + 4 ifadesini d2d_2 denkleminde yerine yazarsak x+(2x+4)−1=0x + (2x + 4) - 1 = 0 elde ederiz.
Ortak kesişim noktasının koordinatları her iki doğrunun da denklemini sağlamalıdır.
2
Elde edilen tek bilinmeyenli denklemi çözerek kesişim noktasının apsis (xx) değerini bulalım.
3x+3=0⇒3x=−3⇒x=−13x + 3 = 0 \Rightarrow 3x = -3 \Rightarrow x = -1 bulunur.
Kesişim noktasının yatay eksendeki koordinatını belirlemek için.
3
Bulunan x=−1x = -1 değerini birinci doğrunun denkleminde yerine yazarak ordinat (yy) değerini bulalım.
y=2(−1)+4=2y = 2(-1) + 4 = 2 bulunur. Böylece ortak kesişim noktası P(−1,2)P(-1, 2) olarak elde edilir.
Kesişim noktasının dikey eksendeki koordinatını belirlemek için.
4
P(−1,2)P(-1, 2) noktasının koordinatlarını üçüncü doğrunun denkleminde yerine yazarak bilinmeyen katsayıyı bulalım.
a(−1)−2(2)+8=0⇒−a−4+8=0⇒−a+4=0⇒a=4a(-1) - 2(2) + 8 = 0 \Rightarrow -a - 4 + 8 = 0 \Rightarrow -a + 4 = 0 \Rightarrow a = 4 elde edilir.
Üç doğrunun aynı noktada kesişmesi için üçüncü doğrunun da bu ortak noktadan geçmesi gerekir.

Anahtar Kavram

İki doğrunun kesişim noktasının koordinatları, doğruların denklemlerinin ortak çözümü ile bulunur. Üç doğrunun aynı noktada kesişmesi durumunda, bu nokta üç denklemi de sağlamalıdır.

Alternatif Yöntem

Kesişim noktasını bulmak için yok etme metodu da tercih edilebilir. İkinci denklem olan x+y−1=0x + y - 1 = 0 ifadesi 22 ile çarpılıp 2x+2y−2=02x + 2y - 2 = 0 elde edilir. Bu denklem ile birinci doğrunun y−2x−4=0y - 2x - 4 = 0 biçimindeki düzenlenmiş hali taraf tarafa toplanarak xx değişkeni yok edilir ve 3y−6=0⇒y=23y - 6 = 0 \Rightarrow y = 2 değerine daha hızlı ulaşılabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 4Soru →

Dik koordinat düzleminde, birbirine dik olan d1d_1 ve d2d_2 doğruları xx-ekseni üzerindeki bir AA noktasında kesişmektedir. d1d_1 doğrusu yy-eksenini (0,4)(0, 4) noktasında, d2d_2 doğrusu ise yy-eksenini (0,−9)(0, -9) noktasında kesmektedir. Buna göre; köşeleri AA noktası, d1d_1 doğrusunun yy-eksenini kestiği nokta ve d2d_2 doğrusunun yy-eksenini kestiği nokta olan üçgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 39

Cevap

Köşeleri kesim noktaları olan üçgenin alanı 39 birimkaredir.
Eğimleri çarpımı −1-1 olan doğruların kesişim noktasının apsisi 66 veya −6-6 olarak bulunur. y-ekseni üzerindeki taban uzunluğu 1313 birim ve bu tabana ait yükseklik 66 birim olduğundan üçgenin alanı 3939 birimkare olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kesişim noktası AA'yı koordinat düzleminde (k,0)(k, 0) olarak belirlemek ve doğruların eğimlerini yazmak.
d1d_1 doğrusunun eğimi m1=−4km_1 = -\frac{4}{k} ve d2d_2 doğrusunun eğimi m2=9km_2 = \frac{9}{k} olarak bulunur.
Doğruların eksenleri kestiği noktalar bilindiği için iki noktadan geçen doğrunun eğim formülü kullanılır.
2
Birbirine dik olan iki doğrunun eğimler çarpımının −1-1 olması kuralın�� uygulamak.
m1⋅m2=−1⇒(−4k)⋅(9k)=−1⇒k2=36⇒k=6m_1 \cdot m_2 = -1 \Rightarrow \left(-\frac{4}{k}\right) \cdot \left(\frac{9}{k}\right) = -1 \Rightarrow k^2 = 36 \Rightarrow k = 6 veya k=−6k = -6 elde edilir.
d1d_1 ve d2d_2 doğrularının dik kesiştiği verilmiştir.
3
Köşe koordinatları A(6,0)A(6, 0) veya A(−6,0)A(-6, 0), B(0,4)B(0, 4) ve C(0,−9)C(0, -9) olan üçgenin alanını hesaplamak.
Taban uzunluğu ∣BC∣=4−(−9)=13|BC| = 4 - (-9) = 13 birim, bu tabana ait yükseklik ∣OA∣=6|OA| = 6 birimdir. Alan = 13×62=39\frac{13 \times 6}{2} = 39 birimkaredir.
Üçgenin tabanı y-ekseni üzerinde olduğundan taban uzunluğu iki nokta arasındaki uzaklıktan, yükseklik ise kesim noktasının orijine uzaklığından bulunur.

Anahtar Kavram

Birbirine dik iki doğrunun eğimleri çarpımı −1-1'dir.

Alternatif Yöntem

Öklid Bağıntısı yardımıyla çözüm: d1⊥d2d_1 \perp d_2 olduğundan ve doğrular yy-eksenini (0,4)(0,4) ve (0,−9)(0,-9) noktalarında kesip xx-ekseni üzerindeki A(k,0)A(k,0) noktasında kesiştiklerinden, BACBAC açısı 90∘90^\circ olan bir dik üçgen oluşur. Orijin O(0,0)O(0,0) noktası olmak üzere, [OA][OA] yüksekliği hipotenüs [BC][BC]'ye inen dikmedir. Öklid'in yükseklik bağıntısına göre: OA2=OB⋅OC⇒k2=4⋅9=36⇒k=6OA^2 = OB \cdot OC \Rightarrow k^2 = 4 \cdot 9 = 36 \Rightarrow k = 6 (veya −6-6) bulunur. Buradan taban ∣BC∣=13|BC| = 13 birim ve yükseklik ∣OA∣=6|OA| = 6 birim olarak elde edilir. Alan ise 13×62=39\frac{13 \times 6}{2} = 39 birimkaredir.
Tahmini Süre:1m 30s
İki Doğrunun Birbirine Göre Durumu Alıştırma Soruları — ALES | Examkin