Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİki Doğrunun Birbirine Göre Durumu
Analitik düzlemde,
d1:y=2x+4d_1: y = 2x + 4
d2:x+y−1=0d_2: x + y - 1 = 0
d3:ax−2y+8=0d_3: ax - 2y + 8 = 0
doğruları aynı noktada kesiştiğine göre, aa kaçtır?
  1. A
    -4
  2. B
    -5
  3. 4Cevap
  4. D
    8
  5. E
    2

Cevap

Doğruların ortak kesişim noktası kullanılarak elde edilen 4 değeri
Üç doğrunun aynı noktada kesişmesi, bu doğruların tek bir ortak noktaya sahip olduğu anlamına gelir. İlk iki doğrunun ortak çözümüyle kesişim noktası P(−1,2)P(-1, 2) olarak belirlenir. Bu noktanın koordinatları üçüncü doğrunun denklemini de sağlamak zorunda olduğundan, denklemde xx yerine −1-1 ve yy yerine 22 yazıldığında a=4a = 4 değeri bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kesişim noktasını bulmak için birinci ve ikinci doğrunun denklemlerini ortak çözelim.
d1d_1 denklemindeki y=2x+4y = 2x + 4 ifadesini d2d_2 denkleminde yerine yazarsak x+(2x+4)−1=0x + (2x + 4) - 1 = 0 elde ederiz.
Ortak kesişim noktasının koordinatları her iki doğrunun da denklemini sağlamalıdır.
2
Elde edilen tek bilinmeyenli denklemi çözerek kesişim noktasının apsis (xx) değerini bulalım.
3x+3=0⇒3x=−3⇒x=−13x + 3 = 0 \Rightarrow 3x = -3 \Rightarrow x = -1 bulunur.
Kesişim noktasının yatay eksendeki koordinatını belirlemek için.
3
Bulunan x=−1x = -1 değerini birinci doğrunun denkleminde yerine yazarak ordinat (yy) değerini bulalım.
y=2(−1)+4=2y = 2(-1) + 4 = 2 bulunur. Böylece ortak kesişim noktası P(−1,2)P(-1, 2) olarak elde edilir.
Kesişim noktasının dikey eksendeki koordinatını belirlemek için.
4
P(−1,2)P(-1, 2) noktasının koordinatlarını üçüncü doğrunun denkleminde yerine yazarak bilinmeyen katsayıyı bulalım.
a(−1)−2(2)+8=0⇒−a−4+8=0⇒−a+4=0⇒a=4a(-1) - 2(2) + 8 = 0 \Rightarrow -a - 4 + 8 = 0 \Rightarrow -a + 4 = 0 \Rightarrow a = 4 elde edilir.
Üç doğrunun aynı noktada kesişmesi için üçüncü doğrunun da bu ortak noktadan geçmesi gerekir.

Anahtar Kavram

İki doğrunun kesişim noktasının koordinatları, doğruların denklemlerinin ortak çözümü ile bulunur. Üç doğrunun aynı noktada kesişmesi durumunda, bu nokta üç denklemi de sağlamalıdır.

Alternatif Yöntem

Kesişim noktasını bulmak için yok etme metodu da tercih edilebilir. İkinci denklem olan x+y−1=0x + y - 1 = 0 ifadesi 22 ile çarpılıp 2x+2y−2=02x + 2y - 2 = 0 elde edilir. Bu denklem ile birinci doğrunun y−2x−4=0y - 2x - 4 = 0 biçimindeki düzenlenmiş hali taraf tarafa toplanarak xx değişkeni yok edilir ve 3y−6=0⇒y=23y - 6 = 0 \Rightarrow y = 2 değerine daha hızlı ulaşılabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

İki Doğrunun Birbirine Göre Durumu

Bu konudan daha fazla soru