Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÖzel Doğrular (Eksenlere Paralel ve Orijinden Geçen)

Analitik düzlemde; x=4x = 4 ve y=6y = 6 doğruları ile koordinat eksenleri arasında kalan dikdörtgensel bölge, orijinden geçen y=mxy = mx doğrusu ile alanları oranı 1:31:3 olan iki bölgeye ayrılıyor.

Buna göre, mm sayısının alabileceği pozitif değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    53\frac{5}{3}
  2. B
    33
  3. C
    134\frac{13}{4}
  4. 154\frac{15}{4}Cevap
  5. E
    92\frac{9}{2}

Cevap

Elde edilen pozitif mm değerlerinin toplamı olan on beş bölü dört ifadesidir.
Dikdörtgensel bölgenin alanı 2424 birimkaredir. Alanlar oranı 1:31:3 olduğundan küçük bölgenin alanı 66 birimkare olmalıdır. Orijinden geçen y=mxy = mx doğrusu iki durumda incelenir. İlk durumda doğru x=4x=4 doğrusunu (4,4m)(4, 4m) noktasında keserek alanı 8m8m olan bir dik üçgen oluşturur; buradan m=3/4m = 3/4 elde edilir. İkinci durumda ise y=6y=6 doğrusunu (6m,6)(\frac{6}{m}, 6) noktasında keserek alanı 18m\frac{18}{m} olan bir dik üçgen oluşturur; buradan m=3m = 3 elde edilir. Bu değerlerin toplamı 154\frac{15}{4} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Dikdörtgensel bölgenin toplam alanını ve ayrılan bölgenin alanlarını hesaplayın.
Toplam alan 4×6=244 \times 6 = 24 birimkaredir. Alanlar oranı 1:31:3 olduğuna göre küçük alan 6 birimkare, büyük alan ise 18 birimkaredir.
Soruda belirtilen oranlara göre ayrılan parçaların alanlarını netleştirmek gerekir.
2
Birinci durumu inceleyin: y=mxy = mx doğrusunun dikey sınır olan x=4x = 4 doğrusunu kesmesi durumu (0<m≤1.50 < m \leq 1.5).
Doğru, x=4x = 4 doğrusunu (4,4m)(4, 4m) noktasında keser. Alt tarafta oluşan dik üçgenin alanı 4×4m2=8m\frac{4 \times 4m}{2} = 8m olur. Buradan 8m=6  ⟹  m=348m = 6 \implies m = \frac{3}{4} bulunur. Bu değer 1.51.5 sınırından küçük olduğu için geçerlidir.
Doğrunun dik kenarı kestiği aralıktaki eğim sınırını ve bu durumda oluşan üçgenin alanını bulmak için.
3
İkinci durumu inceleyin: y=mxy = mx doğrusunun yatay sınır olan y=6y = 6 doğrusunu kesmesi durumu (m≥1.5m \geq 1.5).
Doğru, y=6y = 6 doğrusunu (6m,6)(\frac{6}{m}, 6) noktasında keser. Sol tarafta oluşan dik üçgenin alanı 6×6m2=18m\frac{6 \times \frac{6}{m}}{2} = \frac{18}{m} olur. Buradan 18m=6  ⟹  m=3\frac{18}{m} = 6 \implies m = 3 bulunur. Bu değer 1.51.5 sınırından büyük olduğu için geçerlidir.
Doğrunun yatay kenarı kestiği aralıktaki eğim sınırını ve bu durumda oluşan üçgenin alanını bulmak için.
4
Bulunan geçerli pozitif mm değerlerini toplayın.
m1+m2=34+3=154m_1 + m_2 = \frac{3}{4} + 3 = \frac{15}{4} bulunur.
Soruda bizden istenen pozitif mm değerlerinin toplamına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Eksenlere paralel doğrular ve orijinden geçen doğruların sınırladığı bölgelerin alan analizi
Bu soruyu puanla

Konular

Özel Doğrular (Eksenlere Paralel ve Orijinden Geçen)

Bu konudan daha fazla soru