Analitik düzlemde; y = \frac{4}{3}x doğrusu, x = 6 doğrusu ve x-ekseni arasında kalan kapa… — ALES

Analitik düzlemde; $y = \frac{4}{3}x$ doğrusu, $x = 6$ doğrusu ve $x$ -ekseni arasında kalan kapalı bölgenin çevre uzunluğu, $y = k$ ( $k > 0$ ) doğrusu, $y = \frac{5}{12}x$ doğrusu ve $y$ -ekseni arasında kalan kapalı bölgenin çevre uzunluğuna eşittir. Buna göre $k$ kaçtır?

A
3
4Cevap
C
5
D
6
E
8

Cevap

Her iki kapalı bölgenin çevreleri hesaplanıp eşitlendiğinde elde edilen k değeri 4'tür.

Birinci dik üçgenin kenarları 6, 8 ve 10 birim olduğundan çevresi 24 birimdir. İkinci dik üçgenin kenarları

k

\frac{12}{5}k

\frac{13}{5}k

birim olduğundan çevresi

6k

birimdir. Çevreler eşitlendiğinde

6k = 24

bağıntısından

k = 4

bulunur. Bu nedenle doğru değer 4'tür.

Adım Adım Çözüm

Birinci kapalı bölgenin köşe koordinatlarını belirleme

Bölge

y = \frac{4}{3}x

x = 6

y = 0

(

x

-ekseni) doğruları arasındadır. Kesişim noktaları (köşeler)

(0,0)

(6,0)

(6,8)

noktalarıdır.

Üçgenin kenar uzunluklarını hesaplayabilmek için köşe koordinatlarına ihtiyaç duyulur.

Birinci kapalı bölgenin çevre uzunluğunu hesaplama

Üçgenin dik kenar uzunlukları 6 ve 8 birimdir. Pisagor bağıntısından hipotenüs

\sqrt{6^2 + 8^2} = 10

birimdir. Çevre uzunluğu

6 + 8 + 10 = 24

birimdir.

İkinci bölgenin çevre uzunluğuna eşitlemek amacıyla birinci bölgenin çevresi hesaplanır.

İkinci kapalı bölgenin köşe koordinatlarını belirleme

Bölge

y = k

y = \frac{5}{12}x

x = 0

(

y

-ekseni) doğruları arasındadır. Kesişim noktaları (köşeler)

(0,0)

(0,k)

(\frac{12}{5}k, k)

noktalarıdır.

İkinci üçgenin kenar uzunluklarını

k

cinsinden ifade edebilmek için köşeler belirlenir.

İkinci kapalı bölgenin çevre uzunluğunu

k

cinsinden hesaplama

Üçgenin dik kenar uzunlukları

k

\frac{12}{5}k

birimdir. Pisagor bağıntısından hipotenüs

\sqrt{k^2 + (\frac{12}{5}k)^2} = \frac{13}{5}k

birimdir. Çevre uzunluğu

k + \frac{12}{5}k + \frac{13}{5}k = 6k

birimdir.

İki çevre uzunluğunu eşitlemek için ikinci çevrenin

k

cinsinden değeri bulunur.

Çevreleri birbirine eşitleyerek

k

değerini bulma

6k = 24 \implies k = 4

elde edilir.

Soruda iki çevre uzunluğunun birbirine eşit olduğu belirtildiğinden eşitlik kurularak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Eksenlere paralel doğrular ve orijinden geçen doğruların analitik düzlemde sınırladığı dik üçgenlerin alan ve çevre hesabı.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru