Analitik düzlemde; y = \frac{4}{3}x doğrusu, y = k (k > 0) doğrusu ve y-ekseni arasında ka… — ALES

Analitik düzlemde; $y = \frac{4}{3}x$ doğrusu, $y = k$ ( $k > 0$ ) doğrusu ve $y$ -ekseni arasında kalan kapalı bölgenin alanı $54$ birimkaredir. Buna göre, bu kapalı bölgenin çevre uzunluğu kaç birimdir?

A
27
B
30
36Cevap
D
42
E
48

Cevap

Çevre uzunluğu 36 birim olan seçenektir.

Verilen doğruların sınırladığı bölge, dik kenarları 12 ve 9 birim olan bir dik üçgendir. 9-12-15 özel dik üçgeni özelliğinden hipotenüs uzunluğu 15 birim olup, bu üçgenin çevre uzunluğu 12 + 9 + 15 = 36 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

Doğruların kesim noktalarını belirlemek

y = \frac{4}{3}x

doğrusu ile

y

-ekseninin (

x=0

) kesim noktası

(0,0)

;

y=k

doğrusu ile

y

-ekseninin kesim noktası

(0,k)

;

y = \frac{4}{3}x

ile

y=k

doğrularının kesim noktası ise

(\frac{3}{4}k, k)

olarak bulunur.

Sınırlı kapalı bölgenin köşelerini tespit ederek şeklin geometrik yapısını anlamak.

Kapalı bölgenin alanını k cinsinden ifade etmek

Oluşan şekil, dik köşesi

(0,k)

noktasında olan ve dik kenar uzunlukları

k

ile

\frac{3}{4}k

birim olan bir dik üçgendir. Bu üçgenin alanı

\frac{1}{2} \times k \times \frac{3}{4}k = \frac{3}{8}k^2

birimkaredir.

Verilen alan bilgisini kullanarak k değerini bulmak için denklem kurmak.

k değerini hesaplamak

\frac{3}{8}k^2 = 54 \Rightarrow 3k^2 = 432 \Rightarrow k^2 = 144 \Rightarrow k = 12

bulunur.

Üçgenin kesin boyutlarını elde etmek.

Çevre uzunluğunu hesaplamak

k=12

için dik kenarlar

12

9

birimdir. Pisagor bağıntısından hipotenüs

\sqrt{12^2 + 9^2} = 15

birim olarak bulunur. Çevre ise

12 + 9 + 15 = 36

birimdir.

Soru kökünde istenen kapalı bölgenin çevre uzunluğuna ulaşmak.

Anahtar Kavram

Eksenlere paralel doğrular ve orijinden geçen doğruların kesişim noktaları ile oluşturdukları kapalı bölgelerin analitik incelenmesi.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru