Özel Doğrular (Eksenlere Paralel ve Orijinden Geçen) Alıştırma Soruları — ALES

Soru 1Soru →

Analitik düzlemde; $x = 4$ ve $y = 6$ doğruları ile koordinat eksenleri arasında kalan dikdörtgensel bölge, orijinden geçen $y = mx$ doğrusu ile alanları oranı $1:3$ olan iki bölgeye ayrılıyor.

Buna göre, $m$ sayısının alabileceği pozitif değerlerin toplamı kaçtır?

\frac{5}{3}

3

\frac{13}{4}

\frac{15}{4}

\frac{9}{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{15}{4}$

Cevap

Elde edilen pozitif

m

değerlerinin toplamı olan on beş bölü dört ifadesidir.

Dikdörtgensel bölgenin alanı

24

birimkaredir. Alanlar oranı

1:3

olduğundan küçük bölgenin alanı

6

birimkare olmalıdır. Orijinden geçen

y = mx

doğrusu iki durumda incelenir. İlk durumda doğru

x=4

doğrusunu

(4, 4m)

noktasında keserek alanı

8m

olan bir dik üçgen oluşturur; buradan

m = 3/4

elde edilir. İkinci durumda ise

y=6

doğrusunu

(\frac{6}{m}, 6)

noktasında keserek alanı

\frac{18}{m}

olan bir dik üçgen oluşturur; buradan

m = 3

elde edilir. Bu değerlerin toplamı

\frac{15}{4}

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Dikdörtgensel bölgenin toplam alanını ve ayrılan bölgenin alanlarını hesaplayın.

Toplam alan

4 \times 6 = 24

birimkaredir. Alanlar oranı

1:3

olduğuna göre küçük alan 6 birimkare, büyük alan ise 18 birimkaredir.

Soruda belirtilen oranlara göre ayrılan parçaların alanlarını netleştirmek gerekir.

2

Birinci durumu inceleyin:

y = mx

doğrusunun dikey sınır olan

x = 4

doğrusunu kesmesi durumu (

0 < m \leq 1.5

).

Doğru,

x = 4

doğrusunu

(4, 4m)

noktasında keser. Alt tarafta oluşan dik üçgenin alanı

\frac{4 \times 4m}{2} = 8m

olur. Buradan

8m = 6 \implies m = \frac{3}{4}

bulunur. Bu değer

1.5

sınırından küçük olduğu için geçerlidir.

Doğrunun dik kenarı kestiği aralıktaki eğim sınırını ve bu durumda oluşan üçgenin alanını bulmak için.

3

İkinci durumu inceleyin:

y = mx

doğrusunun yatay sınır olan

y = 6

doğrusunu kesmesi durumu (

m \geq 1.5

).

Doğru,

y = 6

doğrusunu

(\frac{6}{m}, 6)

noktasında keser. Sol tarafta oluşan dik üçgenin alanı

\frac{6 \times \frac{6}{m}}{2} = \frac{18}{m}

olur. Buradan

\frac{18}{m} = 6 \implies m = 3

bulunur. Bu değer

1.5

sınırından büyük olduğu için geçerlidir.

Doğrunun yatay kenarı kestiği aralıktaki eğim sınırını ve bu durumda oluşan üçgenin alanını bulmak için.

4

Bulunan geçerli pozitif

m

değerlerini toplayın.

m_1 + m_2 = \frac{3}{4} + 3 = \frac{15}{4}

bulunur.

Soruda bizden istenen pozitif

m

değerlerinin toplamına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Eksenlere paralel doğrular ve orijinden geçen doğruların sınırladığı bölgelerin alan analizi

Soru 2Soru →

Analitik düzlemde; $y = \frac{4}{3}x$ doğrusu, $y = k$ ( $k > 0$ ) doğrusu ve $y$ -ekseni arasında kalan kapalı bölgenin alanı $54$ birimkaredir. Buna göre, bu kapalı bölgenin çevre uzunluğu kaç birimdir?

27

30

36

42

48

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Çevre uzunluğu 36 birim olan seçenektir.

Verilen doğruların sınırladığı bölge, dik kenarları 12 ve 9 birim olan bir dik üçgendir. 9-12-15 özel dik üçgeni özelliğinden hipotenüs uzunluğu 15 birim olup, bu üçgenin çevre uzunluğu 12 + 9 + 15 = 36 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Doğruların kesim noktalarını belirlemek

y = \frac{4}{3}x

doğrusu ile

y

-ekseninin (

x=0

) kesim noktası

(0,0)

;

y=k

doğrusu ile

y

-ekseninin kesim noktası

(0,k)

;

y = \frac{4}{3}x

ile

y=k

doğrularının kesim noktası ise

(\frac{3}{4}k, k)

olarak bulunur.

Sınırlı kapalı bölgenin köşelerini tespit ederek şeklin geometrik yapısını anlamak.

2

Kapalı bölgenin alanını k cinsinden ifade etmek

Oluşan şekil, dik köşesi

(0,k)

noktasında olan ve dik kenar uzunlukları

k

ile

\frac{3}{4}k

birim olan bir dik üçgendir. Bu üçgenin alanı

\frac{1}{2} \times k \times \frac{3}{4}k = \frac{3}{8}k^2

birimkaredir.

Verilen alan bilgisini kullanarak k değerini bulmak için denklem kurmak.

3

k değerini hesaplamak

\frac{3}{8}k^2 = 54 \Rightarrow 3k^2 = 432 \Rightarrow k^2 = 144 \Rightarrow k = 12

bulunur.

Üçgenin kesin boyutlarını elde etmek.

4

Çevre uzunluğunu hesaplamak

k=12

için dik kenarlar

12

ve

9

birimdir. Pisagor bağıntısından hipotenüs

\sqrt{12^2 + 9^2} = 15

birim olarak bulunur. Çevre ise

12 + 9 + 15 = 36

birimdir.

Soru kökünde istenen kapalı bölgenin çevre uzunluğuna ulaşmak.

Anahtar Kavram

Eksenlere paralel doğrular ve orijinden geçen doğruların kesişim noktaları ile oluşturdukları kapalı bölgelerin analitik incelenmesi.

Soru 3Soru →

Analitik düzlemde; $y = \frac{4}{3}x$ doğrusu, $x = 6$ doğrusu ve $x$ -ekseni arasında kalan kapalı bölgenin çevre uzunluğu, $y = k$ ( $k > 0$ ) doğrusu, $y = \frac{5}{12}x$ doğrusu ve $y$ -ekseni arasında kalan kapalı bölgenin çevre uzunluğuna eşittir. Buna göre $k$ kaçtır?

3

4

5

6

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Her iki kapalı bölgenin çevreleri hesaplanıp eşitlendiğinde elde edilen k değeri 4'tür.

Birinci dik üçgenin kenarları 6, 8 ve 10 birim olduğundan çevresi 24 birimdir. İkinci dik üçgenin kenarları

k

,

\frac{12}{5}k

ve

\frac{13}{5}k

birim olduğundan çevresi

6k

birimdir. Çevreler eşitlendiğinde

6k = 24

bağıntısından

k = 4

bulunur. Bu nedenle doğru değer 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci kapalı bölgenin köşe koordinatlarını belirleme

Bölge

y = \frac{4}{3}x

,

x = 6

ve

y = 0

(

x

-ekseni) doğruları arasındadır. Kesişim noktaları (köşeler)

(0,0)

,

(6,0)

ve

(6,8)

noktalarıdır.

Üçgenin kenar uzunluklarını hesaplayabilmek için köşe koordinatlarına ihtiyaç duyulur.

2

Birinci kapalı bölgenin çevre uzunluğunu hesaplama

Üçgenin dik kenar uzunlukları 6 ve 8 birimdir. Pisagor bağıntısından hipotenüs

\sqrt{6^2 + 8^2} = 10

birimdir. Çevre uzunluğu

6 + 8 + 10 = 24

birimdir.

İkinci bölgenin çevre uzunluğuna eşitlemek amacıyla birinci bölgenin çevresi hesaplanır.

3

İkinci kapalı bölgenin köşe koordinatlarını belirleme

Bölge

y = k

,

y = \frac{5}{12}x

ve

x = 0

(

y

-ekseni) doğruları arasındadır. Kesişim noktaları (köşeler)

(0,0)

,

(0,k)

ve

(\frac{12}{5}k, k)

noktalarıdır.

İkinci üçgenin kenar uzunluklarını

k

cinsinden ifade edebilmek için köşeler belirlenir.

4

İkinci kapalı bölgenin çevre uzunluğunu

k

cinsinden hesaplama

Üçgenin dik kenar uzunlukları

k

ve

\frac{12}{5}k

birimdir. Pisagor bağıntısından hipotenüs

\sqrt{k^2 + (\frac{12}{5}k)^2} = \frac{13}{5}k

birimdir. Çevre uzunluğu

k + \frac{12}{5}k + \frac{13}{5}k = 6k

birimdir.

İki çevre uzunluğunu eşitlemek için ikinci çevrenin

k

cinsinden değeri bulunur.

5

Çevreleri birbirine eşitleyerek

k

değerini bulma

6k = 24 \implies k = 4

elde edilir.

Soruda iki çevre uzunluğunun birbirine eşit olduğu belirtildiğinden eşitlik kurularak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Eksenlere paralel doğrular ve orijinden geçen doğruların analitik düzlemde sınırladığı dik üçgenlerin alan ve çevre hesabı.

Özel Doğrular (Eksenlere Paralel ve Orijinden Geçen)

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar