Examkin

Soru

Zorluk: ZorFaktöriyel
xx ve yy pozitif tam sayılar olmak üzere,
x!y!=210\frac{x!}{y!} = 210
eşitliğini sağlayan farklı xx değerlerinin toplamı kaçtır?
  1. A
    22
  2. B
    217
  3. C
    225
  4. 232Cevap
  5. E
    210

Cevap

Eşitliği sağlayan farklı xx değerlerinin toplamı 232'dir.
İfadeyi sağlayan ardışık çarpan durumları incelendiğinde xx sayısının alabileceği değerlerin 210210, 1515 ve 77 olduğu görülür. Bu pozitif tam sayı değerlerinin toplamı 210+15+7=232210 + 15 + 7 = 232 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Faktöriyel ifadesini ardışık sayıların çarpımı biçiminde yazmak.
x!y!=x⋅(x−1)⋅⋯⋅(y+1)=210\frac{x!}{y!} = x \cdot (x-1) \cdot \dots \cdot (y+1) = 210 eşitliği elde edilir.
Faktöriyel tanımı gereği x!x!, y!y! cinsinden yazılarak sadeleştirilebilir.
2
210 sayısını ardışık pozitif tam sayıların çarpımı olarak yazmak.
210 sayısı tek terimli olarak 210; iki ardışık terim olarak 15⋅1415 \cdot 14; üç ardışık terim olarak 7⋅6⋅57 \cdot 6 \cdot 5 şeklinde yazılabilir. Dört veya daha fazla terimli ardışık çarpım durumunda pozitif tam sayı çözümü bulunmamaktadır.
Çarpımın sonucunun 210 olabilmesi için tüm olası ardışık çarpan grupları incelenmelidir.
3
Bulunan her bir durum için xx değerlerini belirlemek ve toplamak.
Birinci durumdan x=210x = 210 (ve y=209y = 209), ikinci durumdan x=15x = 15 (ve y=13y = 13), üçüncü durumdan x=7x = 7 (ve y=4y = 4) elde edilir. Bu değerlerin toplamı 210+15+7=232210 + 15 + 7 = 232 olur.
xx ve yy pozitif tam sayı koşulunu sağladığından tüm bu xx değerleri geçerlidir.

Anahtar Kavram

Faktöriyelli ifadelerde sadeleştirme ve ardışık sayılarla ilişkilendirme.
Bu soruyu puanla

Konular

Faktöriyel

Bu konudan daha fazla soru