x = 6! \cdot 7! y = 5! \cdot 8! z = 4! \cdot 9! olduğuna göre; x, y ve z sayılarının doğru… — ALES

x = 6! \cdot 7!

y = 5! \cdot 8!

z = 4! \cdot 9!

olduğuna göre; $x$ , $y$ ve $z$ sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

x < y < z

Doğru cevap

x < y < z

sıralamasıdır.

y

sayısı

x

cinsinden yazıldığında

y = \frac{4}{3}x

elde edilir, bu da

y > x

olduğunu gösterir.

z

sayısı ise

y

cinsinden yazıldığında

z = \frac{9}{5}y

elde edilir, bu da

z > y

olduğunu gösterir. Bu iki durum birleştirildiğinde doğru sıralama

x < y < z

olur.

Verilen

x

y

z

ifadelerini karşılaştırabilmek amacıyla ortak çarpanlar elde edecek şekilde düzenleyelim.

x = 6! \cdot 7!

olarak kalsın.

y = 5! \cdot 8! = \frac{6!}{6} \cdot 8 \cdot 7! = \frac{4}{3} \cdot (6! \cdot 7!) = \frac{4}{3}x

olur.

z = 4! \cdot 9! = \frac{5!}{5} \cdot 9 \cdot 8! = \frac{9}{5} \cdot (5! \cdot 8!) = \frac{9}{5}y

olur.

Sayıların değerleri çok büyük olduğu için doğrudan hesaplamak yerine birbirleri cinsinden oranlarını bulmak karşılaştırmayı kolaylaştırır.

x

ile

y

değerlerini kıyaslayalım.

y = \frac{4}{3}x

eşitliğinde

\frac{4}{3} > 1

x

pozitif bir değer olduğundan

y > x

elde edilir.

Bir sayının 1'den büyük bir katı kendisinden büyüktür.

y

ile

z

değerlerini kıyaslayalım.

z = \frac{9}{5}y

eşitliğinde

\frac{9}{5} > 1

y

pozitif bir değer olduğundan

z > y

elde edilir.

Benzer şekilde, bir sayının 1'den büyük bir katı kendisinden büyüktür.

Elde edilen

y > x

z > y

eşitsizliklerini birleştirelim.

x < y < z

sıralamasına ulaşılır.

Geçişme özelliği kullanılarak tüm terimler küçükten büyüğe sıralanır.

Faktöriyel ifadelerinde sadeleştirme ve ardışık terimlerin birbirleri cinsinden yazılması

Soru