Examkin

Sayma ve Olasılık

63 soru

Soru 1Soru →

Bir hafta sonu tatili planlamak isteyen Hakan, deniz veya doğa tatili seçeneklerinden birini tercih edecektir.

* Deniz tatilini seçerse konaklayabileceği 33 farklı otel ve katılabileceği 22 farklı aktivite (tüplü dalış veya yelken) bulunmaktadır.
* Doğa tatilini seçerse konaklayabileceği 44 farklı dağ evi ve katılabileceği 33 farklı aktivite (yürüyüş, tırmanış veya yamaç paraşütü) bulunmaktadır.

Hakan, seçeceği tatil türüne göre 11 konaklama yeri ve bu konaklama yerinde sunulan 11 aktivite belirleyecektir.

Buna göre, Hakan bu hafta sonu tatilini kaç farklı şekilde planlayabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

18
Hakan'ın yapacağı deniz tatili için 3×2=63 \times 2 = 6 farklı seçeneği, doğa tatili için ise 4×3=124 \times 3 = 12 farklı seçeneği vardır. Bu iki tatil seçeneği ayrık olduğundan toplama kuralı uygulanır ve toplam plan sayısı 6+12=186 + 12 = 18 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Deniz tatili seçeneği için olası planlama sayısını hesaplama.
3×2=63 \times 2 = 6 farklı plan.
Hakan deniz tatilini seçtiğinde 33 farklı otelden birini ve bu otelde sunulan 22 farklı aktiviteden birini seçeceği için çarpma kuralı uygulanır.
2
Doğa tatili seçeneği için olası planlama sayısını hesaplama.
4×3=124 \times 3 = 12 farklı plan.
Hakan doğa tatilini seçtiğinde 44 farklı dağ evinden birini ve bu dağ evinde sunulan 33 farklı aktiviteden birini seçeceği için çarpma kuralı uygulanır.
3
Deniz ve doğa tatili seçeneklerinin toplamını bularak toplam plan sayısını hesaplama.
6+12=186 + 12 = 18 farklı plan.
Deniz tatili ve doğa tatili birbirini dışlayan (ayrık) iki farklı seçenek olduğundan, bu seçeneklerin plan sayıları toplama kuralı uygulanarak toplanır.

Anahtar Kavram

Saymanın Temel Kuralları (Toplama ve Çarpma Kuralları)
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2Soru →

Bir EE örnek uzayında tanımlı AA ve BB olayları için,

P(A′∩B′)=16P(A' \cap B') = \frac{1}{6}

P(A∖B)=13P(A \setminus B) = \frac{1}{3}

P(B∖A)=14P(B \setminus A) = \frac{1}{4}

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, AA ve BB olaylarının kesişimi olan P(A∩B)P(A \cap B) olas��lığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14\frac{1}{4}

Cevap

A ve B olaylarının aynı anda gerçekleşme olasılığı olan kesişim değeri 1/4'tür.
Doğru yanıt olan 1/4 değeri, bir örnek uzaydaki tüm ayrık alt bölge olasılıklarının (sadece A'nın gerçekleşme olasılığı, sadece B'nin gerçekleşme olasılığı, kesişim olasılığı ve her ikisinin de gerçekleşmeme olasılığı) toplamının 1'e eşit olması ilkesinden yola çıkılarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Örnek uzayı oluşturan ayrık alt bölgeleri belirlemek.
EE örnek uzayı; sadece AA'nın gerçekleştiği bölge (A∖BA \setminus B), sadece BB'nin gerçekleştiği bölge (B∖AB \setminus A), her iki olayın birlikte ger��ekleştiği bölge (A∩BA \cap B) ve iki olayın da gerçekleşmediği dış bölge ((A∪B)′=A′∩B′(A \cup B)' = A' \cap B') olmak üzere dört ayrık bölgenin birleşimidir.
Olasılık aksiyomlarına göre, bir örnek uzayda tanımlı tüm ayrık durumların olasılıkları toplamı 11'e eşit olmalıdır.
2
Verilen olasılık değerleriyle örnek uzay denklemini kurmak.
P(A∖B)+P(B∖A)+P(A∩B)+P(A′∩B′)=1P(A \setminus B) + P(B \setminus A) + P(A \cap B) + P(A' \cap B') = 1 eşitliğinden 13+14+P(A∩B)+16=1\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + P(A \cap B) + \frac{1}{6} = 1 elde edilir.
Bilinmeyen P(A∩B)P(A \cap B) değerini bulmak için cebirsel bir eşitlik oluşturulur.
3
Payda eşitleyerek bilinmeyeni çözmek.
Paydalar 1212 ile eşitlenir: 412+312+P(A∩B)+212=1⇒912+P(A∩B)=1⇒P(A∩B)=1−34=14\frac{4}{12} + \frac{3}{12} + P(A \cap B) + \frac{2}{12} = 1 \Rightarrow \frac{9}{12} + P(A \cap B) = 1 \Rightarrow P(A \cap B) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} bulunur.
Rasyonel terimlerde toplama işlemini tamamlayıp bilinmeyeni yaln��z bırakmak için.

Anahtar Kavram

Bir örnek uzayı oluşturan tüm ayrık olayların olasılıkları toplamı 1'dir. Farklı küme işlemlerini (fark, tümleyen, kesişim) örnek uzay üzerinde ayrık bölgeler şeklinde ifade ederek olasılık hesaplaması yapılır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 3Soru →

Bir düzlemde bulunan 8 doğrudan 4 tanesi bir AA noktasından, diğer 4 tanesi ise AA noktas��ndan farklı bir BB noktasından geçmektedir. Bu doğruların hiçbirinin birbirine paralel olmadığı bilindiğine göre, AA ve BB noktaları dışındaki kesişim noktalarının sayısı en çok kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

16
A noktasından geçen 4 doğru ile B noktasından geçen 4 doğrunun, bu iki nokta dışındaki kesişim noktaları, birinci gruptan seçilecek bir doğru ile ikinci gruptan seçilecek bir doğrunun kesişmesiyle oluşur. Birinci gruptaki 4 doğrudan her biri, ikinci gruptaki 4 doğrunun her biriyle paralel olmadıkları için tam olarak bir noktada kesişir. Dolayısıyla, A ve B dışındaki kesişim noktalarının sayısı 4 x 4 = 16 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Doğruları geçtikleri noktalara göre gruplandırma
A noktasından geçen 4 doğru (1. grup) ve B noktas��ndan geçen 4 doğru (2. grup) olmak üzere iki grup oluşturulur.
Soruda doğruların farklı noktalardan geçtiği belirtilerek iki farklı küme tanımlanmıştır.
2
Gruplar arası kesişimleri hesaplama
1. gruptaki 4 doğrunun her biri, 2. gruptaki 4 doğrunun her biriyle kesiştiğinde 4 x 4 = 16 kesişim noktası oluşur.
Bir gruptan seçilen bir doğru ile diğer gruptan seçilen bir doğru, paralel olmadıkları için tam olarak bir noktada kesişir.
3
Grup içi kesişimleri ve istenen koşulu değerlendirme
Grup içi kesişimler sadece A ve B noktalarında gerçekleşir. Soru A ve B dışındaki noktaları istediği için bu noktalar hesaba katılmaz.
A noktasından geçen doğrular sadece A'da, B noktasından geçen doğrular ise sadece B'de kesişebilir.
4
Sonucu bulma
Kesişim noktası sayısı en çok 16 olarak bulunur.
A ve B noktaları dışındaki tüm kesişim noktaları gruplar arası kesişimlerden ibarettir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon yardımıyla doğruların kesişim noktası sayısının hesaplanması

İpuçları

1
Doğruları A noktasından geçenler ve B noktasından geçenler olmak üzere iki ayrı grup olarak düşünün.
2
A ve B noktaları dışındaki kesişim noktaları, ancak farklı iki gruptan seçilen doğruların kesişmesiyle oluşabilir.
3
Birinci gruptaki her bir doğru, ikinci gruptaki tüm doğrularla kesişecektir. Çarpma yoluyla sayma kuralını uygulayabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, paralel iki doğru üzerinde sırasıyla 4 ve 5 nokta işaretlendiğinde bu noktaları köşe kabul eden kaç farklı üçgen çizilebileceğini hesaplayabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tüm doğruların oluşturabileceği en fazla kesişim noktası sayısından, A ve B noktalarında doğruların çakışması (noktadaş olması) nedeniyle azalan kesişim sayılarını ve ardından A ve B noktalarının kendilerini çıkararak da sonuca ulaşabiliriz. Formülle ifade edersek: Toplam kesişim sayısı C(8,2) - [C(4,2) - 1] - [C(4,2) - 1] = 28 - 5 - 5 = 18 olur. A ve B noktalarını çıkardığımızda ise 18 - 2 = 16 sonucuna ulaşırız.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 4Soru →

Yatay ve dikey doğruların kesişmesiyle oluşan bir ızgara üzerinde, 3 satır ve 4 sütun halinde dizilmiş toplam 12 nokta bulunmaktadır. Buna göre, köşeleri bu 12 noktadan herhangi üçü olan en çok kaç farklı üçgen çizilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 200

Cevap

Oluşturulabilecek en çok üçgen sayısı 200'dür.
Doğru yanıt 200'dür. Toplam 12 noktadan seçilebilecek tüm 3'lü nokta kombinasyonlarının sayısı 220'dir. Bu kombinasyonlardan üçgen oluşturmayan doğrusal 3'lü gruplar (12 yatay, 4 dikey, 4 köşegen olmak üzere toplam 20 grup) çıkarıldığında geriye 200 adet üçgen kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam nokta sayısı belirlenerek oluşturulabilecek t��m 3'lü kombinasyonlar hesaplanır.
(123)=220\binom{12}{3} = 220 farklı 3'lü nokta grubu seçilebilir.
Herhangi 3 noktanın bir üçgen oluşturabilmesi için öncelikle düzlemdeki tüm 3'lü kombinasyonları bulmamız gerekir.
2
Aynı doğru üzerinde bulunan (doğrusal) ve üçgen oluşturması mümkün olmayan 3'lü nokta grupları belirlenir.
Yatay doğrular üzerinde 3×(43)=123 \times \binom{4}{3} = 12 grup, dikey doğrular üzerinde 4×(33)=44 \times \binom{3}{3} = 4 grup ve köşegenler (çapraz doğrular) üzerinde ise 4 grup olmak üzere toplam 20 doğrusal 3'lü grup bulunur.
Aynı doğru üzerindeki 3 nokta birleştirildiğinde üçgen değil, doğru parças�� oluşur. Bu yüzden bu gruplar toplam durumdan çıkarılmalıdır.
3
Toplam 3'lü grup sayısından doğrusal olan 3'lü grup sayısı çıkarılarak oluşturulabilecek üçgen sayısı bulunur.
220−20=200220 - 20 = 200 farklı üçgen oluşturulabilir.
Üçgen oluşturabilen durumlar, tüm durumlardan üçgen oluşturmayan (doğrusal) durumların çıkarılmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Kombinasyonun Geometrik Yorumu
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 5Soru →

Bir torbada üzerinde 1'den 10'a kadar (1 ve 10 dahil) tam sayıların yazılı olduğu 10 adet kart bulunmaktadır. Bu torbadan rastgele bir kart çekiliyor. Çekilen kartın üzerindeki sayının asal sayı olma olayı AA, çift sayı olma olayı BB olarak tanımlanıyor. Buna göre, çekilen kartın üzerindeki sayının A∪BA \cup B olayının tümleyeni (yani (A∪B)′(A \cup B)') olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15\frac{1}{5}

Cevap

15\frac{1}{5}
Doğru cevap olan 15\frac{1}{5} seçeneği, tümleyen kuralı kullanılarak elde edilir. Örnek uzaydaki 10 elemandan asal olanlar {2,3,5,7}\{2, 3, 5, 7\} ve çift olanlar {2,4,6,8,10}\{2, 4, 6, 8, 10\}'dur. Bu iki kümenin birleşimi olan A∪BA \cup B kümesi {2,3,4,5,6,7,8,10}\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10\} elemanlarından oluşur ve eleman sayısı 8'dir. Bu kümenin tümleyeni ise örnek uzayda olup bu birleşimde yer almayan {1,9}\{1, 9\} kümesidir. Dolayısıyla istenen olasılık 210=15\frac{2}{10} = \frac{1}{5}'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Örnek uzayı (SS) ve eleman sayısını belirleme.
S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} ve ∣S∣=10|S| = 10 olur.
Olasılık hesabında tüm olası durumların sayısını bulmak için.
2
AA (asal sayı olma) ve BB (çift sayı olma) olaylarının kümelerini belirleme.
A={2,3,5,7}A = \{2, 3, 5, 7\} ve B={2,4,6,8,10}B = \{2, 4, 6, 8, 10\} olur.
1 sayısı asal sayı olmadığından AA kümesine dahil edilmez.
3
A∪BA \cup B olayının kümesini ve eleman sayısını bulma.
A∪B={2,3,4,5,6,7,8,10}  ⟹  ∣A∪B∣=8A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10\} \implies |A \cup B| = 8 olur.
Asal veya çift sayı olan kartların tamamını belirlemek için.
4
A∪BA \cup B olayının tümleyeni olan (A∪B)′(A \cup B)' olayının elemanlarını ve olasılığını hesaplama.
(A∪B)′={1,9}  ⟹  ∣(A∪B)′∣=2(A \cup B)' = \{1, 9\} \implies |(A \cup B)'| = 2 olur. Olasılık ise P((A∪B)′)=210=15P((A \cup B)') = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} olarak bulunur.
Çekilen kartın üzerindeki sayının asal veya çift olmama olasılığını hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Olasılıkta tümleyen kuralı ve kümelerin birleşimi özelliğinin olasılık fonksiyonuna uygulanması.
Soru 6Soru →

Bir kitaplıkta yan yana dizilecek olan 4 farklı matematik ve 1 fizik kitabı bulunmaktadır. Fizik kitabının sıranın en başında veya en sonunda yer alması koşuluyla, bu 5 kitap raf üzerinde yan yana kaç farklı şekilde dizilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

Kitapların belirtilen koşula uygun olarak yan yana dizilme sayısı 48'dir.
Fizik kitabının yerleşebileceği en baş ve en son olmak üzere 2 farklı konum seçeneği vardır. Kalan 4 adet matematik kitabı ise geriye kalan 4 boş yere 4!=244! = 24 farklı şekilde yerleştirilebilir. Bu iki bağımsız durumun çarpımı veya toplamı bize 2×24=482 \times 24 = 48 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Fizik kitabının bulunabileceği konumları belirleme
Fizik kitabı sıranın en başında ya da en sonunda olmak ��zere 2 farklı konumda bulunabilir.
Soruda verilen kısıta göre fizik kitabının ya en başta ya da en sonda olması gerekmektedir.
2
Geriye kalan matematik kitaplarının kendi aralarındaki sıralanışlarını hesaplama
Geriye kalan 4 farklı matematik kitabı, kalan 4 yere 4!=244! = 24 farklı şekilde dizilebilir.
Kalan nesnelerin sıraya dizilim sayısı permütasyon kuralı gereği faktöriyel ile hesaplanır.
3
Tüm durumlar için toplam dizilim sayısını bulma
Fizik kitabının başta olduğu 24 durum ile sonda olduğu 24 durum toplanır: 24+24=4824 + 24 = 48 farklı dizilim elde edilir.
Bu iki durum ayrık ve birbirini engellemeyen durumlardır.

Anahtar Kavram

Kısıtlı elemanların yerleşim durumlarına göre permütasyon (sıralama) hesabı.

Alternatif Yöntem

Fizik kitabının konumu için 2 seçenek vardır (1. sıra veya 5. sıra). Geriye kalan 4 matematik kitabı ise P(4,4)=4!=24P(4,4) = 4! = 24 farklı şekilde sıralanır. Çarpma yoluyla sayma kuralına göre toplam sıralama sayısı: 2×24=482 \times 24 = 48 olur.
Tahmini Süre:45s
Soru 7Soru →

Bir düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan 66 farklı nokta bulunmaktadır.

Buna göre, bu noktaların herhangi ikisinden geçen en çok kaç farklı doğru çizilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Herhangi üçü doğrusal olmayan 66 farklı nokta ile en çok 15 farklı doğru çizilebilir.
Herhangi üçü doğrusal olmayan 66 noktadan en çok kaç doğru geçebileceğini bulmak için bu 66 noktadan kaç farklı 22'li grup seçebileceğimizi hesaplarız. Kombinasyon formülü kullanılarak yapılan (62)=15\binom{6}{2} = 15 hesabı doğru sonuca ulaştırır.

Adım Adım Çözüm

1
Doğru oluşturmak için gerekli olan nokta sayısını belirleme
Bir doğrunun belirtilmesi için en az 2 farklı nokta gerekmektedir.
Geometrinin temel kabullerine göre, farklı iki noktadan yalnız ve yalnız bir doğru geçer.
2
Noktalar arasından yapılacak seçimleri kombinasyon ile hesaplama
66 farklı nokta arasından seçilecek her 2 nokta bize yeni bir doğru verir. Bu seçimlerin sayısı (62)\binom{6}{2} kombinasyon formülü ile hesaplanır:
(62)=6×52×1=15\binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15
Noktaların herhangi üçü doğrusal olmadığından, seçilen her 2 nokta farklı bir doğru tanımlar. Sıralama önemsiz olduğu için kombinasyon uygulanır.

Anahtar Kavram

Bir düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan nn nokta ile en çok (n2)\binom{n}{2} farklı doğru çizilebilir.

İpuçları

1
Bir doğru çizebilmek için kaç farklı noktaya ihtiyacınız olduğunu düşünün.
2
Herhangi iki noktadan yalnızca bir doğru geçtiğine göre, 66 nokta arasından kaç farklı 22'li nokta grubu seçebileceğinizi kombinasyon yardımıyla bulun.

Daha Fazla Pratik

Eğer bu noktaların herhangi üçü doğrusal olmasaydı ve köşeleri bu noktalar olan en çok kaç farklı üçgen oluşturulabileceği sorulsaydı, 3'lü kombinasyon hesaplamamız gerekirdi.

Alternatif Yöntem

Noktalardan birini seçelim (6 seçenek). Bu noktayı birleştirebileceğimiz diğer noktaları seçelim (5 seçenek). Toplamda 6×5=306 \times 5 = 30 çizgi elde edilir gibi görünür ancak her doğruyu ikişer kez saymış oluruz (örneğin A'dan B'ye ve B'den A'ya). Çift sayımları engellemek için ikiye böleriz: 30/2=1530 / 2 = 15.
Tahmini Süre:45s
Soru 8Soru →
x=6!⋅7!x = 6! \cdot 7!
y=5!⋅8!y = 5! \cdot 8!
z=4!⋅9!z = 4! \cdot 9!

olduğuna göre; xx, yy ve zz sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x<y<zx < y < z

Cevap

x<y<zx < y < z
Doğru cevap x<y<zx < y < z sıralamasıdır. yy sayısı xx cinsinden yazıldığında y=43xy = \frac{4}{3}x elde edilir, bu da y>xy > x olduğunu gösterir. zz sayısı ise yy cinsinden yazıldığında z=95yz = \frac{9}{5}y elde edilir, bu da z>yz > y olduğunu gösterir. Bu iki durum birleştirildiğinde doğru sıralama x<y<zx < y < z olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen xx, yy ve zz ifadelerini karşılaştırabilmek amacıyla ortak çarpanlar elde edecek şekilde düzenleyelim.
x=6!⋅7!x = 6! \cdot 7! olarak kalsın.
y=5!⋅8!=6!6⋅8⋅7!=43⋅(6!⋅7!)=43xy = 5! \cdot 8! = \frac{6!}{6} \cdot 8 \cdot 7! = \frac{4}{3} \cdot (6! \cdot 7!) = \frac{4}{3}x olur.
z=4!⋅9!=5!5⋅9⋅8!=95⋅(5!⋅8!)=95yz = 4! \cdot 9! = \frac{5!}{5} \cdot 9 \cdot 8! = \frac{9}{5} \cdot (5! \cdot 8!) = \frac{9}{5}y olur.
Sayıların değerleri çok büyük olduğu için doğrudan hesaplamak yerine birbirleri cinsinden oranlarını bulmak karşılaştırmayı kolaylaştırır.
2
xx ile yy değerlerini kıyaslayalım.
y=43xy = \frac{4}{3}x eşitliğinde 43>1\frac{4}{3} > 1 ve xx pozitif bir değer olduğundan y>xy > x elde edilir.
Bir sayının 1'den büyük bir katı kendisinden büyüktür.
3
yy ile zz değerlerini kıyaslayalım.
z=95yz = \frac{9}{5}y eşitliğinde 95>1\frac{9}{5} > 1 ve yy pozitif bir değer olduğundan z>yz > y elde edilir.
Benzer şekilde, bir sayının 1'den büyük bir katı kendisinden büyüktür.
4
Elde edilen y>xy > x ve z>yz > y eşitsizliklerini birleştirelim.
x<y<zx < y < z sıralamasına ulaşılır.
Geçişme özelliği kullanılarak tüm terimler küçükten büyüğe sıralanır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel ifadelerinde sadeleştirme ve ardışık terimlerin birbirleri cinsinden yazılması
Soru 9Soru →
n>2n > 2 olmak üzere,
(n+1)!−n!(n−1)!+(n−2)!=30\frac{(n+1)! - n!}{(n-1)! + (n-2)!} = 30
olduğuna göre, nn kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Ardışık iki sayının çarpımının 30 olmasını sağlayan 6 değeri doğru cevaptır.
Verilen rasyonel ifadenin payı en küçük terim olan n!n! parantezine, paydası ise (n−2)!(n-2)! parantezine alınır. İfadeler düzenlendiğinde pay kısmı n⋅n!n \cdot n! ve payda kısmı n⋅(n−2)!n \cdot (n-2)! olur. Burada bulunan nn çarpanları sadeleşir. Kalan n!(n−2)!\frac{n!}{(n-2)!} ifadesi ise n(n−1)n(n-1) çarpımına eşittir. Buradan n(n−1)=30n(n-1) = 30 eşitliği elde edilir. Çarpımları 30 olan ardışık pozitif tam sayılar 5 ve 6 olduğundan nn değeri 6 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ve paydadaki ifadeleri ortak faktöriyel parantezine almak için düzenleriz.
(n+1)!−n!=n!⋅(n+1)−n!=n!⋅(n+1−1)=n⋅n!(n+1)! - n! = n! \cdot (n+1) - n! = n! \cdot (n+1 - 1) = n \cdot n! ve (n−1)!+(n−2)!=(n−2)!⋅(n−1)+(n−2)!=(n−2)!⋅(n−1+1)=n⋅(n−2)!(n-1)! + (n-2)! = (n-2)! \cdot (n-1) + (n-2)! = (n-2)! \cdot (n-1 + 1) = n \cdot (n-2)! elde edilir.
Faktöriyel içeren ifadelerde toplama ve çıkarma işlemlerini sadeleştirebilmek için terimler en küçük faktöriyelli terim cinsinden yazılır.
2
Bulduğumuz ifadeleri ana kesirde yerine koyarak sadeleştirme yaparız.
n⋅n!n⋅(n−2)!=n!(n−2)!=n⋅(n−1)⋅(n−2)!(n−2)!=n(n−1)\frac{n \cdot n!}{n \cdot (n-2)!} = \frac{n!}{(n-2)!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{(n-2)!} = n(n-1)$ şeklinde sadeleşir.
Pay ve paydadaki ortak çarpanlar olan nn ve (n−2)!(n-2)! terimleri sadeleştirilerek ifade yalın hâle getirilir.
3
Elde edilen sadeleşmiş ifadeyi verilen değere eşitleyerek nn değerini buluruz.
n(n−1)=30n(n-1) = 30 denkleminden ardışık iki pozitif tam sayının çarpımı 30 olmalıdır. Buradan 6⋅5=306 \cdot 5 = 30 olduğu için n=6n = 6 bulunur.
Denklemi sağlayan pozitif tam sayı değerini belirlemek için çarpanlara ayırma yöntemi kullanılır.

Anahtar Kavram

Faktöriyelli ifadelerde ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirme yapma.

İpuçları

1
Pay ve paydadaki faktöriyelli ifadeleri, içlerindeki en küçük faktöriyelli terimlerin ortak parantezine alarak yazmaya çalışın.
2
(n+1)!=(n+1)⋅n!(n+1)! = (n+1) \cdot n! ve (n−1)!=(n−1)⋅(n−2)!(n-1)! = (n-1) \cdot (n-2)! eşitliklerini kullanarak ortak paranteze alma işlemlerini tamamlayın.
3
Sadeleştirmelerden sonra elinizde n(n−1)=30n(n-1) = 30 denklemi kalacaktır. Çarpımları 30 olan iki ardışık pozitif tam sayıyı düşünün.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, n!+(n−1)!(n−1)!−(n−2)!=9\frac{n! + (n-1)!}{(n-1)! - (n-2)!} = 9 denklemini sağlayan nn değerini bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Seçeneklerde verilen sayıları denklemde nn yerine koyarak deneme yöntemiyle çözüme gidilebilir. Örneğin n=6n=6 için pay kısmı 7!−6!=43207! - 6! = 4320 ve payda kısmı 5!+4!=1445! + 4! = 144 olur. Bu değerlerin oranı 4320144=30\frac{4320}{144} = 30 eşitliğini sağlar.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 10Soru →
7!+6!5!\frac{7! + 6!}{5!}

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

48
İfadenin pay kısmındaki 7!+6!7! + 6! toplamı, 6!6! parantezine alınarak 6!×(7+1)=8×6!6! \times (7 + 1) = 8 \times 6! olarak yazılır. Paydadaki 5!5! ile sadeleştirme yapabilmek için paydaki 6!6! ifadesi 6×5!6 \times 5! şeklinde açılır. Böylece ifade 8×6×5!5!\frac{8 \times 6 \times 5!}{5!} halini alır. Pay ve paydadaki 5!5! terimleri sadeleştiğinde geriye kalan 8×68 \times 6 çarpımı 4848 sonucunu verir. Bu nedenle doğru cevap 48'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki faktöriyelli ifadeleri ortak çarpan parantezine almak için büyük olan 7!7! ifadesini 7×6!7 \times 6! şeklinde açarız.
7!+6!=7×6!+6!=6!×(7+1)=8×6!7! + 6! = 7 \times 6! + 6! = 6! \times (7 + 1) = 8 \times 6!
İfadeleri sadeleştirebilmek için ortak çarpan parantezine almak gerekir.
2
Elde ettiğimiz 8×6!8 \times 6! ifadesini paydadaki 5!5! ile sadeleştirebilmek için 6!6! ifadesini 6×5!6 \times 5! şeklinde yazarız.
8×6×5!8 \times 6 \times 5!
Payda ile paydaki en küçük faktöriyel terimini eşitlemek için açılım yapılır.
3
Pay ve paydadaki 5!5! terimlerini sadeleştirerek kalan çarpma işlemini tamamlarız.
8×6×5!5!=8×6=48\frac{8 \times 6 \times 5!}{5!} = 8 \times 6 = 48
İfadenin en sade sayısal değerini hesaplamak.

Anahtar Kavram

Faktöriyel içeren rasyonel ifadelerde, büyük olan fakt��riyeller küçük olanın cinsinden açılarak ortak paranteze alınır ve sadeleştirme yapılır.
Soru 11Soru →

İki torbadan birincisinde 3 kırmızı ve 2 beyaz, ikincisinde ise 1 kırmızı ve 3 beyaz bilye bulunmaktadır. Rastgele bir torba seçilip içinden rastgele bir bilye çekiliyor. Çekilen bilyenin kırmızı olduğu bilindiğine göre, bu bilyenin birinci torbadan çekilmiş olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1217\frac{12}{17}

Cevap

Çekilen bilyenin birinci torbadan gelme olasılığı 1217\frac{12}{17}'dir.
Çekilen bilyenin kırmızı olduğu bilindiği için örnek uzayımız tüm kırmızı bilye çekilme durumları ile sınırlandırılmıştır. Toplam kırmızı çekilme olasılığı 1740\frac{17}{40}'tır. Bu kırmızı bilyelerin birinci torbadan gelme olasılığı (kesişim) ise 310\frac{3}{10}'dur. Koşullu olasılık tanımı gereği, birinci torbadan gelme olasılığı kesişim olasılığının toplam kırmızı olasılığına bölünmesiyle elde edilir: 310/1740=1217\frac{3}{10} / \frac{17}{40} = \frac{12}{17}. Bu nedenle doğru yanıt 1217\frac{12}{17} olan seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Torbaların seçilme olasılıklarını ve her bir torbadan kırmızı bilye çekilme olasılıklarını belirlemek.
Birinci torbanın seçilme olasılığı P(Birinci)=12P(\text{Birinci}) = \frac{1}{2}, bu torbadan kırmızı çekilme olasılığı P(Kırmızı∣Birinci)=35P(\text{Kırmızı} | \text{Birinci}) = \frac{3}{5}'tir. İkinci torbanın seçilme olasılığı P(I˙kinci)=12P(\text{İkinci}) = \frac{1}{2}, bu torbadan kırmızı çekilme olasılığı P(Kırmızı∣I˙kinci)=14P(\text{Kırmızı} | \text{İkinci}) = \frac{1}{4}'tür.
Koşullu olasılık hesabında kullanılacak kesişim ve toplam olasılıkları bulmak için bu temel olasılıklara ihtiyaç vardır.
2
Kırmızı bilye çekilmesinin toplam olasılığını (P(Kırmızı)P(\text{Kırmızı})) hesaplamak.
P(Kırmızı)=P(Birinci)×P(Kırmızı∣Birinci)+P(I˙kinci)×P(Kırmızı∣I˙kinci)=12×35+12×14=310+18=1240+540=1740P(\text{Kırmızı}) = P(\text{Birinci}) \times P(\text{Kırmızı} | \text{Birinci}) + P(\text{İkinci}) \times P(\text{Kırmızı} | \text{İkinci}) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{10} + \frac{1}{8} = \frac{12}{40} + \frac{5}{40} = \frac{17}{40}'tır.
Koşullu olasılık formülünde payda kısmını oluşturacak olan kısıtlanmış örnek uzayın olasılığını bulmak gerekir.
3
Koşullu olasıl��k formülünü uygulayarak sonucu bulmak.
P(Birinci∣Kırmızı)=P(Birinci ve Kırmızı)P(Kırmızı)=3101740=310×4017=1217P(\text{Birinci} | \text{Kırmızı}) = \frac{P(\text{Birinci ve Kırmızı})}{P(\text{Kırmızı})} = \frac{\frac{3}{10}}{\frac{17}{40}} = \frac{3}{10} \times \frac{40}{17} = \frac{12}{17}'dir.
Çekilen bilyenin kırmızı olduğu bilindiğine göre, bu bilyenin birinci torbadan gelme olasılığı koşullu olasılık tanımına göre bu şekilde hesaplanır.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık

Alternatif Yöntem

Alternatif bir yol olarak, bilye sayılarını ortak bir paydada eşitleyerek doğrudan eleman sayıları üzerinden gidebiliriz. Birinci torbadaki bilye sayılarını 8 ile genişletirsek 24 kırmızı ve 16 beyaz (toplam 40) bilye elde ederiz. İkinci torbadaki bilye sayılarını 10 ile genişletirsek 10 kırmızı ve 30 beyaz (toplam 40) bilye elde ederiz. Torbaların seçilme olasılıkları eşit olduğu için, toplam kırmızı bilye sayısı temsilcisi 24+10=3424 + 10 = 34 olur. Bu kırmızı bilyelerin 24 tanesi birinci torbadan geldiği için olasılık 2434=1217\frac{24}{34} = \frac{12}{17} olarak bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 12Soru →

A şehrinden B şehrine 3 farklı yol, B şehrinden C şehrine ise 4 farklı yol vardır. Ayrıca A şehrinden C şehrine, B şehrine uğramadan giden 2 farklı doğrudan yol bulunmaktadır.

Buna göre, A şehrinden C şehrine gidip tekrar A şehrine dönecek olan bir kişi, giderken kullandığı hiçbir yol bağlantısını (yolu) dönüşte kullanmamak şartıyla bu gidiş-dönüş seyahatini kaç farklı şekilde gerçekleştirebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 122

Cevap

Gidiş ve dönüş yolları analiz edilerek toplam farklı seyahat sayısı 122 olarak hesaplanır.
Doğru cevap olan seçenekteki sayı (122), seyahatin gidiş rotasına göre iki farklı duruma ayrılarak hesaplanmasıyla elde edilir. Eğer doğrudan yollardan biriyle gidilirse dönüşte 1313 yol kalır (2×13=262 \times 13 = 26). Eğer B üzerinden gidilirse dönüşte 88 yol kalır (12×8=9612 \times 8 = 96). Bu iki durumun toplamı olan 26+96=12226 + 96 = 122 seyahat olasılığı doğru sonucu verir.

Adım Adım Çözüm

1
B şehri üzerinden A'dan C'ye gidiş yolu sayısını hesaplayın.
3×4=123 \times 4 = 12 yol.
Çarpım kuralına göre, A'dan B'ye giden 3 yol ile B'den C'ye giden 4 yol çarpılarak B üzerinden gidiş alternatifleri bulunur.
2
A'dan C'ye doğrudan giden yolları ekleyerek toplam gidiş alternatiflerini belirleyin.
Toplam gidiş yolu = 1212 (B üzerinden) + 22 (doğrudan) = 1414 yol.
Toplama kuralına göre, B üzerinden gidiş ile doğrudan gidiş ayrık olaylar olduğu için toplanır.
3
Birinci Durum: Gidişin doğrudan yollardan biriyle yapıldığı senaryoyu analiz edin.
Gidiş için 22 yol. Dönüş için: 11 doğrudan yol + 1212 B üzerinden yol = 1313 yol. Bu durumdan gelen seyahat sayısı: 2×13=262 \times 13 = 26.
Giderken kullanılan 1 doğrudan yol dönüşte kullanılamaz (1 yol kalır). B üzerinden hiç gidilmediği için oradaki tüm yollar (4×3=124 \times 3 = 12) kullanılabilir.
4
İkinci Durum: Gidi��in B şehri üzerinden yapıldığı senaryoyu analiz edin.
Gidiş için 1212 yol. Dönüş için: 22 doğrudan yol + 3×2=63 \times 2 = 6 B üzerinden yol = 88 yol. Bu durumdan gelen seyahat sayısı: 12×8=9612 \times 8 = 96.
B üzerinden gidildiğinde kullanılan 1 adet B-C yolu ve 1 adet A-B yolu dönüşte kullanılamaz. Dönüşte C-B arası 3 yol, B-A arası ise 2 yol kalır (3×2=63 \times 2 = 6). Doğrudan yollar hiç kullanılmadığı için 2 seçenek de dönüşte mevcuttur.
5
İki ayrı durumdan elde edilen seyahat sayılarını toplayarak sonuca ulaşın.
26+96=12226 + 96 = 122.
Bu iki durum birbirini dışlayan ayrık durumlar olduğu için toplama kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Saymanın temel kuralları olan toplama ve çarpım kurallar��nın, koşullu durumlar altında ayrık olaylara uygulanması.

İpuçları

1
Gidiş rotanızı B şehri üzerinden gidenler ve B şehrine uğramayan doğrudan yollar olmak üzere iki ayrı durumda inceleyin.
2
B üzerinden gidildiğinde, A-B arasındaki 3 yoldan biri ve B-C arasındaki 4 yoldan biri kullanılmış olur. Dönüşte bu iki yol parçası artık kullanılamaz.
3
Gidiş doğrudan yol ile yapıldığında dönüş için 1 doğrudan yol ve B üzerinden 12 yol kalır. Gidiş B üzerinden yapıldığında dönüş için 2 doğrudan yol ve B üzerinden 3×2=63 \times 2 = 6 yol kalır.

Daha Fazla Pratik

Bu sorunun ardından, yol bağlantısı yerine şehirlerin de tekrar ziyaret edilemeyeceği (A'ya dönene kadar B veya C'ye tekrar uğranamayacağı) durumlar için sayma kurallarını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tüm durumlardan kısıtlamayı bozan durumları çıkarma yöntemi de denenebilir, ancak durumların karmaşıklığı nedeniyle doğrudan durum analizi yapmak işlem hatası riskini azaltır ve daha pratiktir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 13Soru →

A=50!−49!7A = \frac{50! - 49!}{7}

olduğuna göre, AA sayısının asal çarpanlarına ayrılmış biçimindeki 77 asal çarpanının üssü kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

A sayısının asal çarpanlarına ayrılmış biçimindeki 7 asal çarpanının üssü 9'dur.
Doğru cevap 9'dur. 50!−49!50! - 49! ifadesi ortak paranteze alındığında 49!×49=49!×7249! \times 49 = 49! \times 7^2 elde edilir. Bu ifade paydadaki 7 ile bölündüğünde A=49!×7A = 49! \times 7 olur. 49!49! içindeki 7 asal çarpanı sayısı Legendre yöntemiyle 49/7=749/7 = 7 ve 7/7=17/7 = 1 şeklinde bölünerek 7+1=87 + 1 = 8 olarak bulunur. Dışarıdaki 7 çarpanı da eklendiğinde toplam 7 asal çarpanının üssü 8+1=98 + 1 = 9 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki 50!−49!50! - 49! ifadesini ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirin.
50!−49!=49!×(50−1)=49!×49=49!×7250! - 49! = 49! \times (50 - 1) = 49! \times 49 = 49! \times 7^2 elde edilir.
Ardışık faktöriyel ifadelerini ortak paranteze alarak ifadeyi daha sade bir hale getirmek için.
2
Bulunan pay ifadesini paydadaki 77 sayısına bölün.
A=49!×7271=49!×71A = \frac{49! \times 7^2}{7^1} = 49! \times 7^1 elde edilir.
AA sayısının en sade halini belirlemek için.
3
Legendre formülünü kullanarak 49!49! sayısının içindeki 77 asal çarpanının üssünü bulun.
⌊49/7⌋=7\lfloor 49 / 7 \rfloor = 7 ve ⌊7/7⌋=1\lfloor 7 / 7 \rfloor = 1 olduğundan, 7+1=87 + 1 = 8 adet 77 çarpanı vardır.
Faktöriyel bir sayının içindeki belirli bir asal çarpanın sayısını hesaplamak için ardışık bölme işlemi uygulanır.
4
49!×7149! \times 7^1 ifadesindeki toplam 77 çarpanı sayısını bulmak için elde edilen üsleri toplayın.
8+1=98 + 1 = 9 elde edilir.
Çarpım durumundaki ifadelerin üsleri toplanacağından, 49!49! içindeki 88 tane 77 çarpanına dışarıdaki 717^1 çarpanının üssü eklenir.

Anahtar Kavram

Faktöriyel kavramı, ortak çarpan parantezine alma ve bir faktöriyelin içindeki asal çarpan sayısını bulma (Legendre formülü).
Soru 14Soru →

Bir şirkette çalışan 4 yazılımcı ve 5 tasarımcı arasından 4 kişilik bir proje ekibi oluşturulacaktır. Ekipte en az bir yazılımcı ve en az bir tasarımcı bulunması zorunlu olduğuna göre, bu ekip kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

En az bir yazılımcı ve en az bir tasarımcı içeren 4 kişilik ekiplerin sayısı 120 farklı şekilde oluşturulabilir.
Koşulları sağlayan ekip sayısını bulmak için tüm olası 4 kişilik grupların sayısından (126126), sadece yazılımcıların olduğu (11) ve sadece tasarımcıların olduğu (55) gruplar çıkarılır. Böylece geriye kalan 120120 grupta kesinlikle en az bir yazılımcı ve en az bir tasarımcı bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm olası 4 kişilik ekiplerin sayısını hesaplamak
C(9,4)=9×8×7×64×3×2×1=126C(9,4) = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126
Kısıtlamasız toplam seçim sayısını bulmak için 9 kişiden 4 kişi seçilir.
2
Kısıtlamaları ihlal eden istenmeyen durumların sayısını hesaplamak
Sadece yazılımcılardan oluşan durum sayısı: C(4,4)=1C(4,4) = 1. Sadece tasarımcılardan oluşan durum sayısı: C(5,4)=5C(5,4) = 5. İstenmeyen toplam durum sayısı: 1+5=61 + 5 = 6.
Ekipte en az bir yazılımcı ve en az bir tasarımcı olması gerektiğinden, tamamen yazılımcılardan veya tamamen tasarımcılardan oluşan ekipler istenmeyen durumlardır.
3
Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkarmak
126−6=120126 - 6 = 120
İstenen koşulları sağlayan durum sayısını elde etmek için tüm olası seçimlerden kuralı ihlal edenleri çıkarırız.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçim) ve İstenmeyen Durumların Çıkarılması Yöntemi
Soru 15Soru →

Bir restoranda;
- 33 farklı çorba,
- 44 farklı ana yemek,
- 33 farklı tatlı
seçeneği bulunmaktadır.

Bir müşteri bu menüden en az bir, en fazla iki farklı kategoriden birer ürün seçerek bir sipariş oluşturmak istemektedir. Ancak, ana yemek seçtiği her durumda mutlaka çorba da seçmek zorundadır.

Buna göre, bu müşteri siparişini kaç farklı şekilde oluşturabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

Müşteri siparişini 27 farklı şekilde oluşturabilir.
Müşterinin seçebileceği durumlar kategorilere göre ayrılır: Yalnızca bir kategori seçildiğinde sadece çorba (33 durum) veya sadece tatlı (33 durum) seçilebilir (toplam 66 durum). Tam iki kategori seçildiğinde ise çorba ve ana yemek (3×4=123 \times 4 = 12 durum) veya çorba ve tatlı (3×3=93 \times 3 = 9 durum) seçilebilir (toplam 2121 durum). Diğer durumlar koşullarla çelişmektedir. Toplamda 6+21=276 + 21 = 27 farklı sipariş verilebilir.

Adım Adım Çözüm

1
Tek kategori seçilen durumları hesaplayın.
Sadece çorba seçilirse 33 durum, sadece tatlı seçilirse 33 durum vardır. Sadece ana yemek seçilemez çünkü ana yemek seçildiğinde çorba da seçilmelidir. Toplam: 3+3=63 + 3 = 6 durum.
Müşteri en az bir kategori seçmek zorundadır ve ana yemek tek başına seçildiğinde çorba kuralını ihlal eder.
2
İki kategori seçilen durumları hesaplayın.
Çorba ve ana yemek seçilirse 3×4=123 \times 4 = 12 durum; çorba ve tatlı seçilirse 3×3=93 \times 3 = 9 durum vardır. Ana yemek ve tatlı seçilirse çorba da seçilmesi gerekeceğinden kategori sayısı üçe çıkar ve kural ihlal edilir. Toplam: 12+9=2112 + 9 = 21 durum.
Müşteri en fazla iki kategori seçebilir ve ana yemek seçimi her zaman çorbayı gerektirir.
3
Elde edilen tüm durumları toplayın.
6+21=276 + 21 = 27 durum.
Farklı kategori seçim adetleri ayrık durumlar oluşturduğu için toplama ilkesi uygulanır.

Anahtar Kavram

Saymanın toplama ve çarpma kurallarının koşullu durumlara uygulanması.
Soru 16Soru →

xx ve yy pozitif tam sayılar olmak üzere,

x!3y\frac{x!}{3^y}

ifadesi bir çift tam sayı olduğuna göre, yy nin alabileceği en büyük değer 1414 ise xx in alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 93

Cevap

Koşulu sağlayan x değerlerinin toplamı 93'tür.
Verilen ifadenin tam sayı olması ve y'nin en büyük değerinin 14 olması, x! içindeki 3 asal çarpanı sayısının tam olarak 14 olmasını gerektirir. Legendre formülü yardımıyla bu şartı sağlayan en küçük x değeri 30 olarak bulunur. Faktöriyelli ifadede 3 çarpanı sayısı ancak 33 sayısına ulaşıldığında artacağı için x değerleri 30, 31 ve 32 olabilir. Bu değerlerin toplamı da 93 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
İfadenin çift tam sayı olma koşulunun analiz edilmesi.
y≤v3(x!)y \le v_3(x!) ve x≥2x \ge 2 olmalıdır.
x!3y\frac{x!}{3^y} ifadesinin tam sayı olması için payın paydadaki 3 çarpanlarını sadeleştirebilmesi gerekir. x!x! içindeki 3 çarpanı sayısı v3(x!)v_3(x!) ile gösterilirse, y≤v3(x!)y \le v_3(x!) olmalıdır. yy nin alabileceği en büyük değer 14 olduğundan v3(x!)=14v_3(x!) = 14 olmalıdır. Sonucun çift olması için de x≥2x \ge 2 olması yeterlidir.
2
Legendre formülü kullanılarak v3(x!)=14v_3(x!) = 14 denkleminin çözülmesi.
x=30x = 30 için v3(30!)=14v_3(30!) = 14 bulunur.
v3(x!)=⌊x3⌋+⌊x9⌋+⌊x27⌋+…v_3(x!) = \lfloor \frac{x}{3} \rfloor + \lfloor \frac{x}{9} \rfloor + \lfloor \frac{x}{27} \rfloor + \dots formülü uygulanarak sınır değer tespit edilir. x=30x = 30 için bu değer ⌊30/3⌋+⌊30/9⌋+⌊30/27⌋=10+3+1=14\lfloor 30/3 \rfloor + \lfloor 30/9 \rfloor + \lfloor 30/27 \rfloor = 10 + 3 + 1 = 14 olur.
3
Koşulu sağlayan tüm xx değerlerinin belirlenmesi.
x∈{30,31,32}x \in \{30, 31, 32\} olarak bulunur.
x=29x = 29 için çarpan sayısı 13'tür ve yetersizdir. x=33x = 33 için çarpan sayısı 15 olur ve koşulu aşar. Dolayısıyla xx değerleri 30, 31 ve 32 olabilir.
4
Değerlerin toplamının hesaplanması.
30+31+32=9330 + 31 + 32 = 93
xx in alabileceği farklı değerlerin toplamı sorulduğu için bu değerler toplanır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel kavramı ve Legendre formülü yardımıyla bir faktöriyelli ifadedeki asal çarpan üssünün bulunması.

İpuçları

1
Bir ifadenin çift tam sayı olması için öncelikle tam sayı olması gerekir. Paydanın payı tam bölmesi şartını düşünün.
2
x!x! sayısının içindeki 3 asal çarpanı sayısını bulmak için Legendre formülünü kullanabilirsiniz.
3
v3(x!)=14v_3(x!) = 14 koşulunu sağlayan en küçük xx değerini bulduktan sonra, bu değerin ardışığı olan ve 3'ün yeni bir katı olmayan diğer sayıları da kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, x!x! sayısının sonundan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmak için 5 asal çarpanı sayısının Legendre formülüyle nasıl hesaplandığı sorusunu çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Legendre formülünü doğrudan kullanmak yerine, 14 adet 3 çarpanının hangi faktöriyel değerlerinde biriktiğini tek tek çarpanları analiz ederek de bulabilirsiniz (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 sayılarının her birinin içindeki 3 çarpanlarını toplayarak).
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 17Soru →

Bir teknoloji mağazasında satılan 55 farklı marka akıllı telefon ve 33 farklı marka akıllı saat bulunmaktadır. Bir müşteri, bu mağazadan bir akıllı telefon ve bir akıllı saat seçmek istemektedir. Buna göre, bu müşteri kaç farklı telefon ve saat ikilisi seçebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Müşteri, telefon ve saat ikilisini 15 farklı şekilde seçebilir.
Seçilmesi istenen telefon ve saat ikilisi için sırasıyla 5 ve 3 farklı seçenek bulunmaktadır. Saymanın çarpma kuralı gereğince, bu iki seçim birlikte yapılacağından toplam farklı seçim sayısı bu seçeneklerin çarpımı olan 15'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Telefon seçimi için olası durum sayısını belirleme.
5 farklı telefon markası olduğundan telefon seçimi için 5 farklı durum vardır.
Soruda 5 farklı marka akıllı telefon olduğu belirtilmiştir.
2
Saat seçimi için olası durum sayısını belirleme.
3 farklı saat markası olduğundan saat seçimi için 3 farklı durum vardır.
Soruda 3 farklı marka akıllı saat olduğu belirtilmiştir.
3
Çarpma kuralını uygulayarak toplam seçim sayısını hesaplama.
5×3=155 \times 3 = 15 farklı seçim yapılabilir.
Birbirinden bağımsız iki seçimin birlikte yapılması durumunda toplam seçenek sayısı, her bir seçimin durum sayılarının çarpımı ile bulunur (Saymanın Çarpma Kuralı).

Anahtar Kavram

Saymanın Çarpma Kuralı
Soru 18Soru →

Bir spor kulübündeki basketbol ve voleybol branşlarındaki sporcuların lisans durumlarına göre dağılımı aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

BranşLisanslı Sporcu SayısıLisanssız Sporcu Sayısı
Basketbol3322
Voleybol4411

Bu kulüpten rastgele seçilen iki sporcunun aynı branştan olduğu bilindiğine göre, ikisinin de lisanslı sporcu olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 920\frac{9}{20}

Cevap

dokuz bölü yirmi
Doğru cevap dokuz bölü yirmi ifadesidir. Koşul olarak iki sporcunun aynı branştan olduğu belirtilmiştir. Bu durum, her iki sporcunun basketbolcu olması (10 durum) veya her iki sporcunun voleybolcu olması (10 durum) ile gerçekleşebilir ve toplamda örnek uzayımızı 20 duruma sınırlar. İstenen durum ise bu sporcuların hem aynı branştan hem de lisanslı olmasıdır. Bu durum ise 3 lisanslı basketbolcudan 2'sinin seçilmesi (3 durum) ya da 4 lisanslı voleybolcudan 2'sinin seçilmesi (6 durum) ile mümkündür ve toplamda 9 durum oluşturur. Buradan koşullu olasılık dokuz bölü yirmi olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Koşul durumuna göre örnek uzayın eleman sayısını belirlemek
Basketbol branşından 2 sporcu seçimi (52)=10\binom{5}{2} = 10 farklı şekilde, voleybol branşından 2 sporcu seçimi (52)=10\binom{5}{2} = 10 farklı şekilde yapılabilir. Toplam koşul durum sayısı 10+10=2010 + 10 = 20 olur.
İki sporcunun aynı branştan olduğu bilindiği için örnek uzay sadece aynı branştan seçilebilecek ikili grupları kapsar.
2
İstenen olayın (ikisinin de lisanslı ve aynı branştan olması) eleman sayısını hesaplamak
Lisanslı basketbolcular arasından 2 kişi seçimi (32)=3\binom{3}{2} = 3 farklı şekilde, lisanslı voleybolcular arasından 2 kişi se��imi (42)=6\binom{4}{2} = 6 farklı şekilde yapılabilir. Toplam istenen durum sayısı 3+6=93 + 6 = 9 olur.
Koşullu olasılık tanımına göre istenen olay, hem koşulu (aynı branş) hem de ana isteği (lisanslı olma) aynı anda sağlayan durumları kapsamalıdır.
3
Koşullu olasılık değerini hesaplamak
Olasılık değeri P=920P = \frac{9}{20} olarak hesaplanır.
Koşullu olasılık formülü gereği istenen durumların sayısı örnek uzay durumlarının sayısına bölünür.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 19Soru →
(n+2)!+(n+1)!n!+(n−1)!=28\frac{(n+2)! + (n+1)!}{n! + (n-1)!} = 28

eşitliğini sağlayan nn pozitif tam sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

4
Verilen rasyonel ifadede pay (n+3)⋅(n+1)⋅n⋅(n−1)!(n+3) \cdot (n+1) \cdot n \cdot (n-1)! şeklinde, payda ise (n+1)⋅(n−1)!(n+1) \cdot (n-1)! şeklinde düzenlenip ortak terimler sadeleştirildiğinde geriye n⋅(n+3)=28n \cdot (n+3) = 28 eşitliği kalır. Çarpımları 28 olan ve aralarında 3 fark bulunan pozitif tam sayı 4 olduğundan doğru yanıt bu değere karşılık gelir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ve paydadaki ifadeleri ortak paranteze alabilmek için en küçük faktöriyelli terimler cinsinden açalım.
Pay kısmında (n+1)!(n+1)! parantezine alırsak:
(n+2)!+(n+1)!=(n+2)⋅(n+1)!+(n+1)!=(n+1)!⋅(n+2+1)=(n+3)⋅(n+1)!(n+2)! + (n+1)! = (n+2) \cdot (n+1)! + (n+1)! = (n+1)! \cdot (n+2+1) = (n+3) \cdot (n+1)!

Payda kısmında (n−1)!(n-1)! parantezine alırsak:
n!+(n−1)!=n⋅(n−1)!+(n−1)!=(n−1)!⋅(n+1)n! + (n-1)! = n \cdot (n-1)! + (n-1)! = (n-1)! \cdot (n+1)
elde edilir.
Toplama halindeki faktöriyelli ifadeleri sadeleştirebilmek için ortak çarpan parantezine almak gerekir.
2
Bulduğumuz parantezli ifadeleri kesirli denklemde yerine yazıp ortak terimleri sadeleştirelim.
(n+3)⋅(n+1)!(n+1)⋅(n−1)!=28\frac{(n+3) \cdot (n+1)!}{(n+1) \cdot (n-1)!} = 28

Pay kısmındaki (n+1)!(n+1)! ifadesini (n−1)!(n-1)! terimine kadar açarak yazalım:
(n+3)⋅(n+1)⋅n⋅(n−1)!(n+1)⋅(n−1)!=28\frac{(n+3) \cdot (n+1) \cdot n \cdot (n-1)!}{(n+1) \cdot (n-1)!} = 28

Pay ve paydadaki ortak (n+1)(n+1) ve (n−1)!(n-1)! terimleri birbirini sadeleştirir. Geriye kalan ifade:
n⋅(n+3)=28n \cdot (n+3) = 28
olur.
Kesirli ifadelerde pay ve paydadaki çarpım durumundaki ortak terimler sadeleştirilerek işlem kolayla��tırılır.
3
Elde edilen n⋅(n+3)=28n \cdot (n+3) = 28 denklemini sağlayan pozitif tam sayı değerini belirleyelim.
n2+3n−28=0  ⟹  (n+7)⋅(n−4)=0n^2 + 3n - 28 = 0 \implies (n+7) \cdot (n-4) = 0
Buradan n=−7n = -7 veya n=4n = 4 bulunur. Faktöriyel tanımı gereği n−1≥0  ⟹  n≥1n-1 \geq 0 \implies n \geq 1 olmalıdır, bu yüzden nn pozitif bir tam sayı olmak zorundadır. Dolayısıyla n=4n = 4 olarak seçilir.
İkinci derece denklemin köklerinden faktöriyel tanım kümesine uygun olan pozitif tam sayı kökü alınmalıdır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel içeren rasyonel ifadelerde en küçük terime göre açarak ortak paranteze alma ve sadeleştirme yöntemlerinin uygulanması.

İpuçları

1
Pay ve paydadaki ifadeleri ortak paranteze alabilmek için öncelikle terimleri daha küçük faktöriyelli ifadeler cinsinden açmayı deneyin.
2
Pay kısmını (n+1)!(n+1)!, payda kısmını ise (n−1)!(n-1)! parantezine alarak sadeleştirmeleri gerçekleştirin.
3
Sadeleştirmelerden sonra elinizde n(n+3)=28n(n+3) = 28 denklemi kalacaktır. Çarpımları 28 olan ve aralarında 3 fark bulunan pozitif tam sayıyı bulun.

Daha Fazla Pratik

Faktöriyel parantezine alma mantığını pekiştirmek için ardışık üç faktöriyel teriminin toplamının/farkının sadeleştirildiği benzer rasyonel denklem sorularını çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Zaman kısıtı olan sınavlarda, seçeneklerdeki küçük tam sayı değerlerini doğrudan denklemde yerine koyarak deneme yöntemiyle de hızlıca doğru cevaba ulaşabilirsiniz. Örneğin n=4n=4 için sol taraf 6!+5!4!+3!=720+12024+6=84030=28\frac{6! + 5!}{4! + 3!} = \frac{720 + 120}{24 + 6} = \frac{840}{30} = 28 eşitliğini doğrudan sağlar.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 20Soru →

Bir sınıftaki öğrencilerin %60\%60'ı kızdır. Bu sınıftaki kız öğrencilerin %30\%30'u, erkek öğrencilerin ise %40\%40'ı gözlüklüdür. Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin gözlüklü olduğu bilindiğine göre, bu öğrencinin kız öğrenci olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 917\frac{9}{17}

Cevap

Gözlüklü olduğu bilinen bir öğrencinin kız olma olasılığı 917\frac{9}{17}'dir.
Seçilen öğrencinin gözlüklü olduğu bilindiğine göre örnek uzayımız yalnızca gözlüklü öğrencilerden oluşur. Toplam gözlüklü öğrenci sayısı 18x+16x=34x18x + 16x = 34x'tir. Bu öğrencilerden kız olanların sayısı ise 18x18x'tir. Dolayısıyla istenen olasılık 18x34x=917\frac{18x}{34x} = \frac{9}{17} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Sınıftaki toplam öğrenci sayısını belirleyip cinsiyete göre dağılımı yapmak
Sınıftaki toplam öğrenci sayısı 100x100x olsun. Bu durumda kız öğrencilerin sayısı 60x60x, erkek öğrencilerin sayısı ise 40x40x olur.
Yüzde hesaplamalarını kolaylaştırmak için toplam öğrenci sayısını 100x olarak belirlemek adım kolaylığı sağlar.
2
Kız ve erkek öğrenciler arasındaki gözlüklü öğrenci sayılarını hesaplamak
Gözlüklü kız öğrenciler: 60x×30100=18x60x \times \frac{30}{100} = 18x olur. Gözlüklü erkek öğrenciler: 40x×40100=16x40x \times \frac{40}{100} = 16x olur.
Koşullu olasılık hesabında pay ve paydadaki durumları belirlemek için gözlüklü ö��renci sayılarına ihtiyaç duyulur.
3
Koşullu olasılık formülünü uygulamak ve sadeleştirme yapmak
Seçilen öğrencinin gözlüklü olduğu bilindiği için örnek uzay (payda) toplam gözlüklü öğrenci sayısı olan 18x+16x=34x18x + 16x = 34x olur. İstenen durum (pay) ise gözlüklü kız öğrenci sayısı olan 18x18x'tir. Olasılık: 18x34x=917\frac{18x}{34x} = \frac{9}{17} olarak hesaplanır.
Koşullu olasılıkta bilinen durum örnek uzayı daraltır; bu nedenle payda toplam gözlüklü sayısı, pay ise hem kız hem gözlüklü olanların sayısı olmalıdır.

Anahtar Kavram

Koşullu olasılıkta örnek uzay, verilen koşula göre daraltılır. P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} formülü ile hesaplanır.

İpuçları

1
Soruda seçilen kişinin 'gözlüklü' olduğu verilmiştir. Bu bilgi örnek uzayınızı (tüm olası durumları) sınırlandırır.
2
Sınıf mevcudunu 100 kişi kabul ederek gözlüklü kız ve gözlüklü erkek öğrenci sayılarını ayrı ayrı hesaplayın.
3
İstenen olasılık = (Gözlüklü Kız Öğrenci Sayısı) / (Toplam Gözlüklü Öğrenci Sayısı) formülü ile bulunur.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, gözlüksüz olduğu bilinen bir öğrencinin erkek olma olasılığını hesaplayarak konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Formül yerine doğrudan Venn şeması veya tablo yöntemi kullanılabilir. Bir tablo oluşturup satırları 'Kız/Erkek', sütunları 'Gözlüklü/Gözlüksüz' olarak belirleyerek hücreleri doldurabilirsiniz. Gözlüklü sütunundaki toplam değer paydayı, bu sütundaki kız satırındaki değer ise payı oluşturur.
Tahmini Süre:1m 30s
Sayfa 1 / 4Sonraki