Examkin

Soru

Zorluk: ZorFaktöriyel
n≥2n \geq 2 olmak üzere,
(n+2)!−(n+1)!−n!n!−(n−1)!\frac{(n+2)! - (n+1)! - n!}{n! - (n-1)!}

ifadesini tam sayı yapan nn tam sayılarının toplamı kaçtır?

  1. A
    5
  2. 6Cevap
  3. C
    8
  4. D
    9
  5. E
    10

Cevap

İfadeyi tam sayı yapan değerlerin toplamı 6 sayısıdır.
Doğru seçenekte belirtilen 6 sayısı, ifadenin pay ve paydasındaki faktöriyel terimlerinin doğru bir şekilde sadeleştirilmesiyle elde edilir. Sadeleştirme sonucunda ulaşılan n2+3n+3+3n−1n^2 + 3n + 3 + \frac{3}{n-1} ifadesinin tam sayı olması için n−1n-1 ifadesi 3'ün pozitif bölenleri olan 1 ve 3 değerlerini almalıdır. Buradan nn değerleri 2 ve 4 olarak bulunur ve toplamları 6 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki faktöriyelli ifadeleri ortak olan n!n! parantezine alarak düzenlemek.
(n+2)!−(n+1)!−n!=n!⋅(n2+2n)(n+2)! - (n+1)! - n! = n! \cdot (n^2 + 2n)
İfadeyi sadeleştirmek amacıyla en küçük faktöriyelli terim cinsinden yazmamız gerekir.
2
Payda kısmındaki ifadeleri ortak olan (n−1)!(n-1)! parantezine alarak düzenlemek.
n!−(n−1)!=(n−1)!⋅(n−1)n! - (n-1)! = (n-1)! \cdot (n-1)
Pay ve payda arasındaki ortak faktöriyel terimlerini sadeleştirebilmek için tabanları eşitlemeliyiz.
3
Bulunan ifadeleri yerlerine yazıp sadeleştirme işlemini yapmak.
n!⋅(n2+2n)(n−1)!⋅(n−1)=n⋅(n−1)!⋅n(n+2)(n−1)!⋅(n−1)=n2(n+2)n−1\frac{n! \cdot (n^2 + 2n)}{(n-1)! \cdot (n-1)} = \frac{n \cdot (n-1)! \cdot n(n+2)}{(n-1)! \cdot (n-1)} = \frac{n^2(n+2)}{n-1}
n!=n⋅(n−1)!n! = n \cdot (n-1)! özelliğini kullanarak paydadaki (n−1)!(n-1)! terimini sadeleştirmek.
4
Elde edilen rasyonel ifadeyi polinom bölmesi yöntemiyle tam ve kesirli kısımlarına ayırmak.
n3+2n2n−1=n2+3n+3+3n−1\frac{n^3 + 2n^2}{n-1} = n^2 + 3n + 3 + \frac{3}{n-1}
nn değerlerinin hangi koşulda tam sayı üreteceğini daha net görebilmek için kesri parçalamalıyız.
5
3n−1\frac{3}{n-1} ifadesinin bir tam sayı olabilmesi için n−1n-1 değerinin 3'ün pozitif bölenleri olmasını sağlamak.
n−1=1  ⟹  n=2n-1 = 1 \implies n = 2 ve n−1=3  ⟹  n=4n-1 = 3 \implies n = 4 elde edilir. Bu değerlerin toplamı 2+4=62 + 4 = 6 olur.
n≥2n \geq 2 koşulunu sağlayan ve ifadeyi tam sayı yapan tüm nn tam sayılarını bulup toplamak.

Anahtar Kavram

Faktöriyel ifadelerde ortak paranteze alma ve rasyonel ifadelerin tam sayı yapılması

Alternatif Yöntem

İfadeyi sadeleştirmek yerine n≥2n \geq 2 koşuluna uyan tam sayılar (2, 3, 4, ...) sırasıyla formülde yerine yazılarak doğrudan test edilebilir. Örneğin n=2n=2 için ifade 24−6−22−1=16\frac{24-6-2}{2-1} = 16 (tam sayı), n=3n=3 için ifade 120−24−66−2=22.5\frac{120-24-6}{6-2} = 22.5 (tam sayı değil), n=4n=4 için ifade 720−120−2424−6=32\frac{720-120-24}{24-6} = 32 (tam sayı) değerlerini üretir. Bu şekilde n=2n=2 ve n=4n=4 değerleri tespit edilebilir, fakat bu yöntem zaman alıcıdır ve daha büyük değerler için kesin bir sınır çizmek zordur.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Faktöriyel

Bu konudan daha fazla soru