Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDörtgenler ve Genel Özellikleri

Bir dışbükey ABCDABCD dörtgeninde, AA ve CC köşelerine ait iç açıortayların kesişmesiyle oluşan dar açının ölçüsü 20∘20^\circ dir.

BB ve DD köşelerindeki iç açılardan birinin ölçüsü 115∘115^\circ olduğuna göre, diğer köşedeki iç açının alabileceği en büyük değer kaç derecedir?

  1. A
    135
  2. B
    145
  3. 155Cevap
  4. D
    75
  5. E
    95

Cevap

Diğer köşedeki iç açının alabileceği en büyük değer 155 derecedir.
Karşı iki köşeye ait iç açıortayların kesişmesiyle oluşan dar açının ölçüsü, diğer iki köşedeki iç açıların ölçüleri farkının yarısına eşittir. Bu kurala göre, verilmeyen açının ölçüsüne dd dersek, ∣115∘−d∣2=20∘\frac{|115^\circ - d|}{2} = 20^\circ eşitliği elde edilir. Buradan ∣115∘−d∣=40∘|115^\circ - d| = 40^\circ olur. Bu eşitliği sağlayan dd değerleri 75∘75^\circ ve 155∘155^\circ olup, en büyük değer 155∘155^\circ olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Dörtgenin iç açılarının toplamı ve açıortay ilişkisini yazın.
m(A^)+m(B^)+m(C^)+m(D^)=360∘m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) + m(\widehat{D}) = 360^\circ olduğunu biliyoruz. AA ve CC köşelerine ait iç açıortaylar için m(A^)=2am(\widehat{A}) = 2a ve m(C^)=2cm(\widehat{C}) = 2c yazalım. Buradan 2a+2c+m(B^)+m(D^)=360∘  ⟹  a+c=180∘−m(B^)+m(D^)22a + 2c + m(\widehat{B}) + m(\widehat{D}) = 360^\circ \implies a + c = 180^\circ - \frac{m(\widehat{B}) + m(\widehat{D})}{2} bağıntısı elde edilir.
Açıortayların oluşturduğu yarı aç��ların toplamını verilmeyen diğer iki açı cinsinden ifade edebilmek için.
2
APCDAPCD dörtgeninin iç açılar toplamından yararlanın.
APCDAPCD dörtgeninde iç açılar toplamı 360∘360^\circ dir. PP noktasındaki iç bükey açı 360∘−m(APC^)360^\circ - m(\widehat{APC}) şeklindedir. Açıları toplarsak: a+m(D^)+c+(360∘−m(APC^))=360∘  ⟹  m(APC^)=a+c+m(D^)a + m(\widehat{D}) + c + (360^\circ - m(\widehat{APC})) = 360^\circ \implies m(\widehat{APC}) = a + c + m(\widehat{D}) olur.
Açıortaylar arasındaki geniş açıyı diğer bilinen açılar cinsinden yazmak için.
3
a+ca + c ifadesini yerine yazarak dar açı formülünü elde edin.
m(APC^)=180∘−m(B^)+m(D^)2+m(D^)=180∘−m(B^)−m(D^)2m(\widehat{APC}) = 180^\circ - \frac{m(\widehat{B}) + m(\widehat{D})}{2} + m(\widehat{D}) = 180^\circ - \frac{m(\widehat{B}) - m(\widehat{D})}{2} elde edilir. Bu açının bütünleri olan dar açı ise α=∣m(B^)−m(D^)∣2\alpha = \frac{|m(\widehat{B}) - m(\widehat{D})|}{2} olur.
Karşı iki açının açıortayları arasındaki dar açının, diğer iki açının farkının yarısı olduğunu ispatlamak veya göstermek için.
4
Verilen değerleri denklemde yerine koyup diğer açıyı hesaplayın.
Dar açı 20∘20^\circ ve açılardan biri 115∘115^\circ olduğundan: ∣115∘−m(D^)∣2=20∘  ⟹  ∣115∘−m(D^)∣=40∘\frac{|115^\circ - m(\widehat{D})|}{2} = 20^\circ \implies |115^\circ - m(\widehat{D})| = 40^\circ elde edilir. Bu mutlak değerli denklemin çözümü için iki durum vardır: 1) 115∘−m(D^)=40∘  ⟹  m(D^)=75∘115^\circ - m(\widehat{D}) = 40^\circ \implies m(\widehat{D}) = 75^\circ, 2) 115∘−m(D^)=−40∘  ⟹  m(D^)=155∘115^\circ - m(\widehat{D}) = -40^\circ \implies m(\widehat{D}) = 155^\circ.
Diğer açının alabileceği tüm olası değerleri bulmak için.
5
En büyük değeri belirleyin.
Bulunan 75∘75^\circ ve 155∘155^\circ değerlerinin her ikisi de bir dışbükey dörtgenin açısı olabilir (0∘<ac¸ı<180∘0^\circ < \text{açı} < 180^\circ). Bu değerlerden en büyüğü 155∘155^\circ olarak bulunur.
Soruda bizden istenen en büyük değeri tespit etmek için.

Anahtar Kavram

Bir dışbükey dörtgende karşı iki açının iç açıortayları arasında kalan dar açının ölçüsü, diğer iki açının ölçüleri farkının mutlak değerinin yarısına eşittir.

İpuçları

1
Dörtgenin iç açılarının toplamının 360∘360^\circ olduğunu ve karşı iki köşeden çizilen iç açıortayların bu toplamı nasıl etkilediğini düşünün.

Daha Fazla Pratik

Karşı iki açının açıortayları yerine ardışık iki açının iç açıortayları çizilseydi oluşan açı nasıl bulunurdu?

Alternatif Yöntem

Dörtgenin açıortaylarını çizdikten sonra oluşan üçgen ve dörtgenlerdeki iç açılar toplamını yazarak formülsüz bir şekilde açı takibi yapabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Dörtgenler ve Genel Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru