Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorDörtgenler ve Genel Özellikleri

Bir dışbükey ABCDABCD dörtgeninde; ABAB ve CDCD kenarlarının orta noktaları sırasıyla EE ve FF, BCBC ve ADAD kenarlarının orta noktaları ise sırasıyla GG ve HH'dir.

∣EF∣=∣GH∣=10 cm|EF| = |GH| = 10\text{ cm} ve ABCDABCD dörtgeninin köşegen uzunluklarının toplamı 28 cm28\text{ cm} olduğuna göre, bu dörtgenin alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir?

  1. A
    48
  2. 96Cevap
  3. C
    171
  4. D
    180
  5. E
    192

Cevap

Dörtgenin alanı 96 cm² dir.
Dışbükey dörtgenin kenar orta noktalarını birleştiren paralelkenarın köşegenleri birbirine eşit olduğunda bu paralelkenar dikdörtgen olur. Bu durum ana dörtgenin köşegenlerinin dik kesiştiğini (AC⊥BDAC \perp BD) gösterir. Köşegen uzunlukları d1d_1 ve d2d_2 için dikdörtgenin köşegen uzunluğu formülünden d12+d22=400d_1^2 + d_2^2 = 400 elde edilir. Köşegenler toplamı 2828 olduğundan karesi alınarak 2d1d2=3842d_1d_2 = 384 ve d1d2=192d_1d_2 = 192 bulunur. Alan köşegenler çarpımının yarısı olduğundan 96 cm296\text{ cm}^2 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kenar orta noktalarının oluşturduğu geometrik şeklin (Varignon paralelkenarı) özellikleri incelenir.
Bir dörtgenin kenar orta noktalarını birleştiren şekil her zaman bir paralelkenardır. Bu paralelkenarda EFEF ve GHGH köşegenlerdir.
Kenar orta noktalarının birbirine göre konumları ve köşegenlerle olan paralel ilişkilerini kurmak için.
2
Verilen ∣EF∣=∣GH∣=10 cm|EF| = |GH| = 10\text{ cm} eşitliği kullanılarak dörtgenin köşegenlerinin kesişim açısı belirlenir.
Köşegenleri eşit olan bir paralelkenar bir dikdörtgendir. Varignon paralelkenarının kenarları ABCDABCD dörtgeninin köşegenlerine (ACAC ve BDBD) paralel olduğundan, bu paralelkenarın dikdörtgen olması ACAC ve BDBD köşegenlerinin dik kesiştiğini gösterir (AC⊥BDAC \perp BD).
Dörtgenin alan formülünü belirlemek için köşegenlerin birbirine dik olduğunu ispatlamak gerekir.
3
Varignon dikdörtgeninin köşegen uzunluğu yardımıyla dörtgenin köşegen uzunluklarının kareleri toplamı hesaplanır.
Dörtgenin köşegen uzunlukları d1=∣AC∣d_1 = |AC| ve d2=∣BD∣d_2 = |BD| olsun. Dikdörtgenin kenarları d1/2d_1/2 ve d2/2d_2/2 olup köşegeni 10 cm10\text{ cm} olduğundan Pisagor teoremine göre: (d1/2)2+(d2/2)2=102  ⟹  d12+d22=400(d_1/2)^2 + (d_2/2)^2 = 10^2 \implies d_1^2 + d_2^2 = 400 bulunur.
Köşegenler arasındaki cebirsel ilişkiyi elde etmek için.
4
Verilen d1+d2=28 cmd_1 + d_2 = 28\text{ cm} toplamı kullanılarak köşegenlerin çarpımı (d1⋅d2d_1 \cdot d_2) bulunur.
(d1+d2)2=282  ⟹  d12+d22+2d1d2=784  ⟹  400+2d1d2=784  ⟹  2d1d2=384  ⟹  d1d2=192(d_1 + d_2)^2 = 28^2 \implies d_1^2 + d_2^2 + 2d_1d_2 = 784 \implies 400 + 2d_1d_2 = 784 \implies 2d_1d_2 = 384 \implies d_1d_2 = 192 elde edilir.
Dörtgenin alanı köşegenlerin çarpımına bağlı olduğundan bu çarpımın değerini bulmak gerekir.
5
Köşegenleri dik kesişen dörtgenin alan formülü uygulanır.
Alan(ABCDABCD) =12⋅d1⋅d2=12⋅192=96 cm2= \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 192 = 96\text{ cm}^2 bulunur.
Köşegenleri dik kesişen dörtgenin alanını hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Bir dışbükey dörtgende kenar orta noktalarının oluşturduğu paralelkenarın (Varignon paralelkenarı) köşegenlerinin eşit olması durumunda, bu paralelkenarın dikdörtgen olduğu ve dolayısıyla ana dörtgenin köşegenlerinin dik kesiştiği özelliğidir. Köşegenleri dik kesişen bir dörtgenin alanı ise köşegenlerinin çarpımının yarısına eşittir.
Bu soruyu puanla

Konular

Dörtgenler ve Genel Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru