A, B, C ve D futbol takımlarının katıldığı tek devreli lig usulü bir turnuvada her takım d… — ALES

$A$ , $B$ , $C$ ve $D$ futbol takımlarının katıldığı tek devreli lig usulü bir turnuvada her takım diğer takımların her biriyle tam birer kez karşılaşmıştır. Turnuvada galibiyete $3$ puan, beraberliğe $1$ puan verilmekte, mağlubiyete ise puan verilmemektedir.

Turnuva sonunda takımların aldıkları puanlarla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
* En yüksek puanı alan takımın puanı $7$ ’dir.
* Turnuvada toplam $3$ maç berabere bitmiştir.
* Her takımın puanı birbirinden farklıdır ve her takım en az $1$ puan almıştır.
* $B$ takımı turnuvada en az bir maçta mağlup olmuştur.

Buna göre, $C$ takımı ile $D$ takımı arasındaki maç nasıl sonuçlanmıştır?

A
$C$ takımı kazanmışt��r
B
$D$ takımı kazanmıştır
Beraberlikle sonuçlanmıştırCevap
D
Turnuva kuralları gereği maç yapılmamıştır
E
Verilen bilgiler bu maçın sonucunu bulmak için yetersizdir

Cevap

Beraberlikle sonuçlanmıştır

C

takımının turnuva sonundaki puanı

3

’tür ve toplam beraberlik sayısının tutarlı olabilmesi için

C

takımının oynadığı

3

maçın tamamında berabere kalması gerektiği bulunmuştur.

C

takımı tüm maçlarında berabere kaldığı için

D

takımıyla yaptığı maç da beraberlikle sonuçlanmıştır. Bu nedenle beraberlikle sonuçlandığını belirten seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

Turnuvadaki toplam maç sayısını ve bu maçlardan elde edilebilecek toplam puanı hesaplama.

Toplam maç sayısı

\frac{4 \times 3}{2} = 6

’dır. Her galibiyetli maçta toplam

3

puan (kazanana

3

, kaybedene

0

), her beraberlikte ise toplam

2

puan (her iki takıma

1

’er) dağıtılır. Toplam

3

maç berabere bittiğine göre, diğer

3

maç galibiyetle sonuçlanmıştır. Bu durumda turnuvada dağıtılan toplam puan:

(3 \times 2) + (3 \times 3) = 6 + 9 = 15

puandır.

Takımların puanlarının toplamını bulmak ve olası puan dağılımlarını sınırlamak için bu bilgi gereklidir.

Takımların alabileceği puanların olasılıklarını belirleme.

Her takım en az

1

puan aldığına ve en yüksek puan

7

olduğuna göre, takımların puanları

7 > P_1 > P_2 > P_3 \ge 1

şeklindedir. Toplam puan

15

olduğundan, diğer üç takımın puanları toplamı

15 - 7 = 8

olmalıdır. Puanlar birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğundan, toplamı

8

olan tek uygun puan grubu

\{5, 2, 1\}

veya

\{4, 3, 1\}

’dir.

Takımların bireysel puanlarını tam olarak belirleyebilmek için matematiksel sınırları çizmek gerekir.

B

takımının mağlup olma koşulunu kullanarak doğru puan grubunu seçme.

Eğer puanlar

\{7, 5, 2, 1\}

olsaydı,

5

puan alan takımın maç karnesi

1

galibiyet,

2

beraberlik ve

0

mağlubiyet olmak zorundaydı (

3 \times 1 + 1 \times 2 = 5

puan). Ancak

B

takımının en az bir maçta mağlup olduğu bilinmektedir. Bu nedenle

5

puan alan bir takım

B

olamaz. Puan grubu

\{7, 4, 3, 1\}

olmak zorundadır. Burada

4

puan alan

B

takımının karnesi

1

galibiyet,

1

beraberlik,

1

mağlubiyet (

3 \times 1 + 1 \times 1 = 4

) şeklindedir ve mağlubiyet koşulunu sağlar. Böylece takımların puanları sırasıyla

7

(

A

4

(

B

3

(

C

) ve

1

(

D

) olarak netleşir.

Verilen kısıtlamalardan yola çıkarak doğru senaryoyu netleştirmek için.

Takımların beraberlik sayılarını analiz ederek

C

D

takımlarının maç sonucunu bulma.

Turnuvada toplam

3

beraberlik maçı yapılmıştır, bu da takımların beraberlik sayılarının toplamının

2 \times 3 = 6

olmasını gerektirir.

7

puan alan

A

takımı

2

galibiyet,

1

beraberlik;

4

puan alan

B

takımı

1

galibiyet,

1

beraberlik;

1

puan alan

D

takımı ise

0

galibiyet,

1

beraberlik almıştır. Bu üç takımın beraberliklerinin toplamı

1 + 1 + 1 = 3

’tür. Toplam beraberlik sayısının

6

olması için

C

takımının beraberlik sayısı

6 - 3 = 3

olmalıdır. Bu da

C

takımının oynadığı tüm maçlarda berabere kaldığı anlamına gelir. Dolayısıyla

C

takımı ile

D

takımı arasındaki maç beraberlikle sonuçlanmıştır.

Beraberlik dağılımından yola çıkarak doğrudan

C

D

arasındaki maçın sonucuna ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Turnuva Puanlama ve Beraberlik Analizi

İpuçları

Turnuvadaki toplam maç sayısını ve takımlara dağıtılan toplam puanı hesaplayarak başlayın.

B

takımının en az bir maçta yenildiğini dikkate alarak takımların puan dağılımlarının

\{7, 4, 3, 1\}

olması gerektiğini bulun.

Her takımın beraberlik sayılarını analiz ederek

C

takımının kaç maçta berabere kaldığını tespit edin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir turnuva sorusunda takımların beraberlik sayıları yerine toplam gol sayıları verilerek maç skorları üzerinden analiz yapılması istenebilir.

Alternatif Yöntem

Puan dağılımı

\{7, 4, 3, 1\}

olarak bulunduktan sonra, her takımın alabileceği skor kombinasyonları (Galibiyet-Beraberlik-Mağlubiyet) yazılır:

A(2,1,0)

B(1,1,1)

C(0,3,0)

veya

C(1,0,2)

D(0,1,2)

. Buradan toplam beraberlik sayısı üzerinden gidilerek

C

takımının tek ihtimalinin

3

beraberlik olduğu görülür. Bir takımın

3

beraberliği varsa, gruptaki diğer

3

takımın her biriyle berabere kalmış olmalıdır.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Konular

Bu konudan daha fazla soru