Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKartezyen Çarpım

A={x∈Z:−1<x≤5}A = \{x \in \mathbb{Z} : -1 < x \leq 5\} kümesi veriliyor. BB kümesi asal rakamlardan, CC kümesi ise tek rakamlardan oluşan kümelerdir. Buna göre, (A×B)∩(C×A)(A \times B) \cap (C \times A) kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?

  1. A
    6
  2. 9Cevap
  3. C
    15
  4. D
    18
  5. E
    30

Cevap

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı 9 olarak bulunur.
Kartezyen çarpım kümesinin kesişim özelliği kullanılarak (A×B)∩(C×A)=(A∩C)×(B∩A)(A \times B) \cap (C \times A) = (A \cap C) \times (B \cap A) eşitliği elde edilir. Burada s(A∩C)=3s(A \cap C) = 3 ve s(B∩A)=3s(B \cap A) = 3 olduğundan, çarpım kümesinin eleman sayısı 3×3=93 \times 3 = 9 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
AA kümesinin elemanlarını listeleyip eleman sayısını bulalım.
A={0,1,2,3,4,5}A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} ve s(A)=6s(A) = 6 olur.
−1<x≤5-1 < x \leq 5 aralığındaki tam sayılar AA kümesini oluşturur.
2
BB ve CC kümelerinin elemanlarını belirleyelim.
B={2,3,5,7}B = \{2, 3, 5, 7\} ve C={1,3,5,7,9}C = \{1, 3, 5, 7, 9\} olur.
Asal rakamlar BB kümesini, tek rakamlar ise CC kümesini tanımlar.
3
(A×B)∩(C×A)(A \times B) \cap (C \times A) ifadesini kartezyen çarpımın kesişim özelliğiyle düzenleyip sonucu hesaplayalım.
(A×B)∩(C×A)=(A∩C)×(B∩A)(A \times B) \cap (C \times A) = (A \cap C) \times (B \cap A) özelliğinden s(A∩C)×s(B∩A)=3×3=9s(A \cap C) \times s(B \cap A) = 3 \times 3 = 9 bulunur.
A∩C={1,3,5}A \cap C = \{1, 3, 5\} ve B∩A={2,3,5}B \cap A = \{2, 3, 5\} kümelerinin eleman sayıları 3'tür.

Anahtar Kavram

Kartezyen Çarpımın Kesişim Özelliği ve Eleman Sayısı
Bu soruyu puanla

Konular

Kartezyen Çarpım

Bu konudan daha fazla soru