Examkin

Soru

Zorluk: ZorKartezyen Çarpım
A={x∈Z:∣x−2∣≤3}A = \{ x \in \mathbb{Z} : |x - 2| \leq 3 \}
B={y∈Z:∣y+1∣≤2}B = \{ y \in \mathbb{Z} : |y + 1| \leq 2 \}
kümeleri veriliyor.

Buna göre, A×BA \times B kartezyen çarpım kümesinin elemanları olan (x,y)(x, y) sıralı ikililerinden kaç tanesi x+y>2x + y > 2 koşulunu sağlar?

  1. A
    8
  2. 10Cevap
  3. C
    11
  4. D
    15
  5. E
    20

Cevap

10
Doğru seçenekte belirtilen değer, A ve B kümelerinin elemanları listelenip x+y>2x + y > 2 koşulunu sağlayan (x,y)(x, y) sıralı ikilileri tek tek gruplandırıldığında elde edilen 10 değeridir. y=1y = 1 için x∈{2,3,4,5}x \in \{2, 3, 4, 5\} (4 adet), y=0y = 0 için x∈{3,4,5}x \in \{3, 4, 5\} (3 adet), y=−1y = -1 için x∈{4,5}x \in \{4, 5\} (2 adet), y=−2y = -2 için x∈{5}x \in \{5\} (1 adet) ve y=−3y = -3 için koşulu sağlayan eleman bulunmamaktadır. Toplamda 4+3+2+1=104+3+2+1=10 adet sıralı ikili vardır.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını belirlemek için ∣x−2∣≤3|x - 2| \leq 3 eşitsizliğini çözün.
A={−1,0,1,2,3,4,5}A = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}
Mutlak değer özelliğinden −3≤x−2≤3-3 \leq x - 2 \leq 3 yazılır. Her tarafa 2 eklendiğinde −1≤x≤5-1 \leq x \leq 5 elde edilir.
2
B kümesinin elemanlarını belirlemek için ∣y+1∣≤2|y + 1| \leq 2 eşitsizliğini çözün.
B={−3,−2,−1,0,1}B = \{-3, -2, -1, 0, 1\}
Mutlak değer özelliğinden −2≤y+1≤2-2 \leq y + 1 \leq 2 yazılır. Her taraftan 1 çıkarıldığında −3≤y≤1-3 \leq y \leq 1 elde edilir.
3
B kümesindeki her bir yy değeri için x+y>2  ⟹  x>2−yx + y > 2 \implies x > 2 - y koşulunu sağlayan x∈Ax \in A de��erlerini bulun.
y = 1 için 4, y = 0 için 3, y = -1 için 2, y = -2 için 1, y = -3 için 0 değer bulunur.
y = 1 ise x > 1 olmalıdır. A kümesinden {2, 3, 4, 5} olmak üzere 4 eleman vardır. y = 0 ise x > 2 olmalıdır. A kümesinden {3, 4, 5} olmak üzere 3 eleman vardır. y = -1 ise x > 3 olmalıdır. A kümesinden {4, 5} olmak üzere 2 eleman vardır. y = -2 ise x > 4 olmalıdır. A kümesinden {5} olmak üzere 1 eleman vardır. y = -3 ise x > 5 olmalıdır. A kümesinden bu koşulu sağlayan eleman yoktur.
4
Her durum için bulunan eleman sayılarını toplayın.
4+3+2+1+0=104 + 3 + 2 + 1 + 0 = 10
Toplam sağlayan durumların sayısı aranan sıralı ikililerin sayısını verir.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpım kümesindeki elemanların belirli bir koşula göre sayılması

İpuçları

1
Öncelikle A ve B kümelerinin elemanları olan tam sayıları mutlak değerli eşitsizlikleri çözerek ayrı ayrı listeleyin.
2
Kartezyen çarpımın elemanları (x,y)(x, y) şeklindedir, burada x∈Ax \in A ve y∈By \in B'dir. Koşulumuz olan x+y>2x + y > 2 ifadesini x>2−yx > 2 - y şeklinde yazarak inceleyebilirsiniz.
3
B kümesindeki her bir yy elemanı için (yani 1,0,−1,−2,−31, 0, -1, -2, -3 için) x>2−yx > 2 - y eşitsizliğini sağlayan kaç tane x∈Ax \in A elemanı olduğunu tek tek belirleyip toplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, x⋅y<0x \cdot y < 0 koşulunu sağlayan sıralı ikililerin sayısını bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tüm durumların sayısından (yani s(A×B)=7×5=35s(A \times B) = 7 \times 5 = 35), x+y≤2x + y \leq 2 koşulunu sağlayan durumların sayısını çıkararak da sonuca ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kartezyen Çarpım

Bu konudan daha fazla soru