Examkin

Soru

Zorluk: ZorDoğru Parçasını Oranlı Bölme

Analitik düzlemde A(−3,2)A(-3, 2) ve B(5,−6)B(5, -6) noktaları veriliyor. [AB][AB] doğru parçasını dıştan ∣CA∣∣CB∣=35\frac{|CA|}{|CB|} = \frac{3}{5} oranında bölen CC noktası ile [AB][AB] doğru parçasını içten ∣DA∣∣DB∣=13\frac{|DA|}{|DB|} = \frac{1}{3} oranında bölen DD noktası arasındaki uzaklık kaç birimdir?

  1. A
    828\sqrt{2}
  2. B
    12212\sqrt{2}
  3. 14214\sqrt{2}Cevap
  4. D
    18218\sqrt{2}
  5. E
    2\sqrt{2}

Cevap

İki nokta arasındaki uzaklık 14214\sqrt{2} birimdir.
Doğru cevap olan 14214\sqrt{2} ifadesi, dıştan bölen CC noktasının koordinatlarının C(−15,14)C(-15, 14) ve içten bölen DD noktasının koordinatlarının D(−1,0)D(-1, 0) olarak doğru bir şekilde tespit edilip, iki nokta arasındaki uzaklık formülü olan (x2−x1)2+(y2−y1)2\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} bağıntısının hatasız uygulanması sonucu elde edilmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
C noktasının konumunu ve koordinat değişim oranını belirlemek.
∣CA∣/∣CB∣=3/5<1|CA| / |CB| = 3/5 < 1 olduğundan CC noktası [AB][AB] doğru parçasının dışındadır ve AA noktasına daha yakındır. Bu durumda noktalar doğrusal olarak CC - AA - BB sırasında yer alır. ∣CA∣=3k|CA| = 3k ve ∣CB∣=5k|CB| = 5k dersek, ∣AB∣=5k−3k=2k|AB| = 5k - 3k = 2k olur.
Dıştan bölme oranını kullanarak doğru üzerindeki parçaların birbirine olan oranını belirlemek.
2
C noktasının koordinatlarını hesaplamak.
A(−3,2)A(-3, 2) ve B(5,−6)B(5, -6) noktaları arasındaki değişim: xx koordinatı için 5−(−3)=85 - (-3) = 8 artış (2k=8  ⟹  k=42k = 8 \implies k = 4), yy koordinatı için −6−2=−8-6 - 2 = -8 azalış (2k=−8  ⟹  k=−42k = -8 \implies k = -4) olmaktadır. CC noktası, AA'dan 3k3k kadar geride olduğundan koordinatları; xC=−3−3(4)=−15x_C = -3 - 3(4) = -15 ve yC=2−3(−4)=14y_C = 2 - 3(-4) = 14 olarak bulunur. Yani C(−15,14)C(-15, 14) noktası elde edilir.
Artış ve azalış oranlarını kullanarak bilinmeyen dış noktanın koordinatlarına ulaşmak.
3
D noktasının koordinatlarını hesaplamak.
DD noktası [AB][AB] doğru parçasını içten ∣DA∣∣DB∣=13\frac{|DA|}{|DB|} = \frac{1}{3} oranında böldüğü için DD noktası AA ile BB arasındadır. ∣DA∣=m|DA| = m ve ∣DB∣=3m|DB| = 3m dersek, ∣AB∣=4m|AB| = 4m olur. xx koordinatındaki 88 birimlik artış 4m4m'ye karşılık gelirse m=2m = 2 olur. yy koordinatındaki −8-8 birimlik azalış 4m4m'ye karşılık gelirse m=−2m = -2 olur. AA noktasından DD noktasına giderken xx koordinatı 22 artar, yy koordinatı 22 azalır: D(−3+2,2−2)=D(−1,0)D(-3 + 2, 2 - 2) = D(-1, 0) bulunur.
İçten bölen noktanın koordinatlarını oran yöntemiyle hesaplamak.
4
C ve D noktaları arasındaki uzaklığı hesaplamak.
∣CD∣=(−1−(−15))2+(0−14)2=142+(−14)2=196+196=142|CD| = \sqrt{(-1 - (-15))^2 + (0 - 14)^2} = \sqrt{14^2 + (-14)^2} = \sqrt{196 + 196} = 14\sqrt{2} birim olarak hesaplanır.
Koordinatları bilinen iki nokta arasındaki uzaklık formülünü uygulayarak nihai sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Doğru parçasını belirli bir oranda içten ve dıştan bölen noktaların koordinatlarının doğrusal artış/azalış miktarları ile bulunması.
Bu soruyu puanla

Konular

Doğru Parçasını Oranlı Bölme

Bu konudan daha fazla soru