Examkin

Soru

Zorluk: OrtaGeometrik Özelliklere Dayalı Bağıntılar

Bir koordinat düzleminde, köşeleri tam sayı koordinatlarına sahip olan bir çokgenin "alan ağırlığı" şu şekilde tanımlanmaktadır:

* Çokgenin iç bölgesinde kalan tam sayı koordinatlı nokta sayısı I˙İ
* Çokgenin kenarları (sınırları) üzerinde yer alan tam sayı koordinatlı nokta sayısı SS

olmak üzere, çokgenin alan ağırlığı I˙+S2−1İ + \frac{S}{2} - 1 formülüyle hesaplanır.

Buna göre; köşeleri koordinat düzleminde O(0,0)O(0,0), A(6,0)A(6,0) ve B(0,4)B(0,4) noktaları olan dik üçgenin alan ağırlığı kaçtır?

  1. A
    10
  2. B
    11
  3. 12Cevap
  4. D
    13
  5. E
    14

Cevap

Dik üçgenin sınır çizgileri üzerinde 12, iç bölgesinde ise 7 adet tam sayı koordinatlı nokta bulunur. Bu değerler formülde yerine yazıldığında alan ağırlığı 12 olarak hesaplanır.
Üçgenin kenarları üzerindeki tam sayı koordinatlı noktaların sayısı 12 ve iç bölgesindeki tam sayı koordinatlı noktaların sayısı 7'dir. Tanımlanan formüle bu değerler yerleştirildiğinde, alan ağırlığı 7 + (12/2) - 1 = 12 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenin sınırları (kenarları) üzerindeki tam sayı koordinatlı nokta sayısını (SS) belirleyelim.
S=12S = 12 olarak bulunur.
Yatay kenar üzerindeki noktalar: (0,0),(1,0),(2,0),(3,0),(4,0),(5,0),(6,0)(0,0), (1,0), (2,0), (3,0), (4,0), (5,0), (6,0) (7 adet). Dikey kenar üzerindeki noktalar: (0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(0,4)(0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (0,4) (5 adet). Hipotenüs doğrusunun denklemi 2x+3y=122x + 3y = 12 olup bu segmentteki tam sayı noktaları: (0,4),(3,2),(6,0)(0,4), (3,2), (6,0) (3 adet). Köşe noktaları ikişer kez sayıldığından, toplam tekil sınır noktası sayısı: 7+5+3−3=127 + 5 + 3 - 3 = 12 olur.
2
Üçgenin iç bölgesinde kalan tam sayı koordinatlı nokta sayısını (I˙İ) belirleyelim.
I˙=7İ = 7 olarak bulunur.
İç bölgedeki noktalar x>0x > 0, y>0y > 0 ve 2x+3y<122x + 3y < 12 koşullarını sağlamalıdır. Bu koşula uyan noktalar şunlardır: x=1x=1 için (1,1),(1,2),(1,3)(1,1), (1,2), (1,3) (3 adet); x=2x=2 için (2,1),(2,2)(2,1), (2,2) (2 adet); x=3x=3 için (3,1)(3,1) (1 adet); x=4x=4 için (4,1)(4,1) (1 adet). Toplam iç nokta sayısı: 3+2+1+1=73 + 2 + 1 + 1 = 7 olur.
3
Belirlenen değerleri alan ağırlığı formülünde yerine yazalım.
Alan ağırlığı = 12
Formüle göre: I˙+S2−1=7+122−1=7+6−1=12İ + \frac{S}{2} - 1 = 7 + \frac{12}{2} - 1 = 7 + 6 - 1 = 12 sonucuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Geometrik şekiller üzerinde tanımlanan bağıntılarda sınır ve iç bölge koordinat noktalarını sistematik olarak sayma ve formülü doğru uygulama.

Alternatif Yöntem

Soruda tanımlanan formül aslında koordinat düzlemindeki çokgenlerin alanını hesaplamaya yarayan Pick Teoremi'dir. Dik üçgenin dik kenar uzunlukları 6 ve 4 birim olduğundan alanı doğrudan 6×42=12\frac{6 \times 4}{2} = 12 birimkaredir. Dolayısıyla, formülün vereceği değer doğrudan bu alan değerine eşit olmalıdır.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Geometrik Özelliklere Dayalı Bağıntılar

Bu konudan daha fazla soru