Examkin

Soru

Zorluk: OrtaGeometrik Özelliklere Dayalı Bağıntılar

Bir kenar uzunluğu 88 birim olan nn adet eş kare; her bir karenin sol alt köşesi, bir önceki karenin ağırlık merkezine (köşegenlerinin kesişim noktasına) gelecek ve kenarları birbirine paralel olacak şekilde üst üste yerleştirilerek bir geometrik şekil elde ediliyor.

Bu şekilde elde edilen geometrik şeklin toplam alanı 304304 birimkare olduğuna göre, oluşan şeklin çevre uzunluğu kaç birimdir?

  1. A
    96
  2. 112Cevap
  3. C
    128
  4. D
    152
  5. E
    192

Cevap

Oluşan geometrik şeklin çevre uzunluğu 112 birimdir.
Çakışan bölgenin alanı 1616 birimkare olup, nn adet kare için toplam alan 48n+1648n + 16 olarak modellenir. Toplam alan 304304 birimkareye eşitlendiğinde kare sayısı n=6n=6 olarak bulunur. Her çakışmada çevre uzunluğundan 1616 birim eksildiğinden, 66 kare için toplam çevre 16(6)+16=11216(6) + 16 = 112 birim olmaktadır. Bu nedenle çevre uzunluğu 112 birim olan seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
İki ardışık karenin çakışma alanını hesaplayın.
Her bir karenin bir kenarı 88 birim olduğundan alanı 8×8=648 \times 8 = 64 birimkaredir. Bir karenin sol alt köşesi diğerinin ağırlık merkezine yerleştirildiğinde, çakışan bölge kenarları paralel olan 4×44 \times 4 boyutlarında bir kare olur. Çakışan alan 4×4=164 \times 4 = 16 birimkaredir.
Toplam alan bağıntısını oluşturmak için çakışan alan miktarını bilmemiz gerekir.
2
Kare sayısı nn için toplam alan formülünü kurun ve nn değerini bulun.
nn adet kare için n−1n-1 adet çakışma bölgesi oluşur. Toplam Alan = n×64−(n−1)×16=48n+16n \times 64 - (n-1) \times 16 = 48n + 16 birimkare olur. 48n+16=304  ⟹  48n=288  ⟹  n=648n + 16 = 304 \implies 48n = 288 \implies n = 6 bulunur.
Şekli oluşturan toplam kare sayısını bulmak, çevre uzunluğunu hesaplamamızı sağlayacaktır.
3
Oluşan şeklin çevre uzunluğunu hesaplayın.
nn adet karenin çakışma olmadan toplam çevresi 32n32n birimdir. Her bir çakışmada, ikişer kenardan 44'er birimlik toplam 1616 birim çevre kaybı yaşanır. Toplam Çevre = 32n−16(n−1)=16n+1632n - 16(n-1) = 16n + 16 birimdir. n=6n = 6 i��in Çevre = 16×6+16=11216 \times 6 + 16 = 112 birim bulunur.
Soruda istenen nihai çevre uzunluğuna ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Geometrik şekillerin çakışma durumlarında alan ve çevre bağıntılarının modellenmesi

İpuçları

1
Bir karenin sol alt köşesi diğerinin ağırlık merkezine geliyorsa, iki karenin çakışan kısmı büyük karenin tam olarak dörtte biridir.
2
nn tane kare doğrusal şekilde dizildiğinde aralarında n−1n-1 tane çakışma bölgesi oluşur. Toplam alanı bulmak için karelerin alanları toplamından bu çakışan alanları çıkarmalısınız.
3
Çevre hesaplarken, her çakışma noktası dış çevreye dahil olan bazı kenar parçalarını yok eder. İki karenin birleştiği her yerde, dış çevreden 4+4=84 + 4 = 8 birimlik ikişer adet parça (toplamda 16 birim) eksilir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, kareler yerine eşkenar üçgenlerin ağırlık merkezleri kullanılarak oluşturulan örüntülerin alan ve çevre ilişkilerini inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Toplam çevreyi bulmak için şekli yatay ve dikey projeksiyonlarına ayırarak da hesaplayabilirsiniz. En sol alt köşeden en sağ üst köşeye kadar olan toplam yatay uzunluk 8+4(n−1)=4n+48 + 4(n-1) = 4n + 4 birimdir. Aynı şekilde dikey uzunluk da 4n+44n + 4 birimdir. Şeklin dış sınırı tırtıklı olsa da, çevre uzunluğu bu sınırları çevreleyen en küçük dikdörtgenin çevresine eşittir. Dolayısıyla Çevre = 2×((4n+4)+(4n+4))=16n+162 \times ((4n+4) + (4n+4)) = 16n + 16 olur. Buradan n=6n=6 için Çevre = 16(6)+16=11216(6) + 16 = 112 birim bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Geometrik Özelliklere Dayalı Bağıntılar

Bu konudan daha fazla soru