Examkin

Soru

Zorluk: OrtaPetek ve Çokgen Örüntüleri

Bir süslemede düzgün altıgenler ve düzgün üçgenler, kenarları çakışacak şekilde yan yana dizilerek bir şerit oluşturulmaktadır. Bu örüntünün:
- 11. adımında 11 adet düzgün altıgen ve bunun sağ kenarına yapışık 11 adet düzgün üçgen bulunmaktadır.
- 22. adımında, 11. adımdaki şeklin sağ ucuna sırasıyla 11 adet düzgün altıgen ve 11 adet düzgün üçgen eklenmektedir.
- Sonraki her adımda, bir önceki adımda elde edilen şeklin sağ ucuna sırasıyla 11 adet düzgün altıgen ve 11 adet düzgün üçgen eklenerek örüntü devam ettirilmektedir.

Tüm çokgenlerin kenar uzunlukları 11 birimdir.

Buna göre, bu örüntüyle oluşturulan bir şeridin dış çevresi 8787 birim olduğuna göre, bu şeritte toplam kaç adet düzgün üçgen kullanılmıştır?

  1. A
    15
  2. 17Cevap
  3. C
    18
  4. D
    21
  5. E
    29

Cevap

Şeritte toplam 17 adet düzgün üçgen kullanılmıştır.
Örüntünün genel çevre formülü 5n+25n + 2 olarak bulunur. Burada nn adım sayısını (yani kullanılan altıgen ve üçgen sayılarını) temsil eder. Çevre 8787 birim olduğuna göre 5n+2=87  ⟹  5n=85  ⟹  n=175n + 2 = 87 \implies 5n = 85 \implies n = 17 elde edilir. Her adımda 11 adet düzgün üçgen kullanıldığı için şeritteki toplam düzgün üçgen sayısı 1717 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Örüntünün ilk birkaç adımı için şekillerin çevrelerini hesaplayıp kuralı belirleyelim.
11. adımda 11 altıgen ve 11 üçgen vardır, çakışan kenar sayısı 11'dir. Çevre = 6+3−2(1)=76 + 3 - 2(1) = 7 birim olur. 22. adımda 22 altıgen ve 22 üçgen vardır, çakışan kenar sayısı 33'tür. Çevre = 2(6)+2(3)−2(3)=122(6) + 2(3) - 2(3) = 12 birim olur.
Adımlar arasındaki artış miktarını bularak genel bir çevre formülü elde etmek amacıyla bu adım yapılmıştır.
2
nn adımlı bir şeritteki toplam kenar sayısını ve paylaşılan kenarları hesaba katarak genel çevre formülünü yazalım.
nn adet düzgün altıgen ve nn adet düzgün üçgen için toplam kenar sayısı 6n+3n=9n6n + 3n = 9n olur. Şekiller yan yana dizildiğinde aralarında 2n−12n - 1 tane ortak kenar oluşur. Her ortak kenar çevreden 22 birim eksiltir. Bu durumda çevre formülü: C(n)=9n−2(2n−1)=5n+2C(n) = 9n - 2(2n - 1) = 5n + 2 olur.
Çevresi 8787 birim olan şeritteki adım sayısını (nn) bulmak amacıyla genel formül oluşturulmuştur.
3
Çevre formül��nü 8787'ye eşitleyerek adım sayısı olan nn değerini çözelim.
5n+2=87  ⟹  5n=85  ⟹  n=175n + 2 = 87 \implies 5n = 85 \implies n = 17 bulunur.
Her adımda tam olarak 11 adet düzgün üçgen eklendiğinden, nn adımda toplam nn adet üçgen kullanıldığını belirlemek amacıyla bu denklem çözülmüştür.

Anahtar Kavram

Çokgen örüntülerinde ortak kenarların çevre uzunluğuna etkisini dikkate alarak genel terim formülü yazma ve doğrusal denklem çözme.

İpuçları

1
Örüntünün 1. ve 2. adımlarındaki toplam kenar sayılarını hesaplayın ve ardından bu adımlarda üst üste binen (ortak olan) kenarları belirleyip toplamdan çıkarın.
2
1. adımdaki çevre 77 birimdir. 2. adımdaki çevre ise 1212 birimdir. Her adımda çevre uzunluğunun kaçar kaçar arttığını bulun.
3
Artış miktarı 55 birim olduğuna göre, nn. adımdaki şeklin çevre formülü 5n+25n + 2 şeklindedir. Bu ifadeyi 8787'ye eşitleyerek nn değerini bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, kare ve düzgün beşgenlerin yan yana dizilmesiyle oluşturulan şeritlerin çevre uzunluğu problemlerini çözerek bu kuralları pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, ilk adımdan sonra eklenen her bir altıgen-üçgen çiftinin çevreye getirdiği net katkıyı hesaplayabiliriz. 1. adımdaki başlangıç şeklinin (1 altıgen ve 1 üçgen) çevresi 77 birimdir. Bundan sonra eklenen her yeni altıgen-üçgen çifti, bir önceki şekle 11 ortak kenarla bağlanır. Dolayısıyla her adımda çevreye net katkı: 66 (altıgen) + 33 (üçgen) - 2×22 \times 2 (iki adet ortak kenar) = 55 birim olur. nn adımda toplam çevre 7+5(n−1)7 + 5(n-1) olacaktır. 7+5(n−1)=87  ⟹  5(n−1)=80  ⟹  n−1=16  ⟹  n=177 + 5(n-1) = 87 \implies 5(n-1) = 80 \implies n-1 = 16 \implies n = 17 bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Petek ve Çokgen Örüntüleri

Bu konudan daha fazla soru