Examkin

Soru

Zorluk: KolayPetek ve Çokgen Örüntüleri

Düzgün sekizgen şeklinde masalar yan yana birleştirilerek tek bir büyük masa elde edilmek isteniyor. Her bir masa, yanındaki masa ile tam olarak bir kenarı çakışacak şekilde yan yana diziliyor. 1 masa yerleştirildiğinde etrafına 8 sandalye (her boş kenara 1 sandalye) konulabiliyor. 2 masa yan yana birleştirildiğinde ortak olan kenara sandalye konulamadığı için toplam 14 sandalye konulabiliyor. Buna göre, yan yana birleştirilen 6 düzgün sekizgen masanın etrafına en fazla kaç sandalye konulabilir?

  1. A
    48
  2. B
    43
  3. 38Cevap
  4. D
    36
  5. E
    40

Cevap

Yan yana birleştirilen 6 düzgün sekizgen masanın etrafına en fazla 38 sandalye konulabilir.
Doğru cevap olan 38 değeri, örüntünün doğrusal artış kuralına dayanmaktadır. İlk masanın 8 sandalyesine ek olarak eklenen her yeni masa 6 sandalye getirmektedir. 6 masa için başlangıç masasının üzerine 5 masa eklenmiş olur. Buradan toplam sandalye sayısı 8+5×6=388 + 5 \times 6 = 38 olarak hesaplanır. Alternatif olarak, 6 masanın toplam 48 kenarından, 5 birleşme noktasındaki çakışan 5×2=105 \times 2 = 10 kenar çıkarılarak da 48−10=3848 - 10 = 38 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Örüntünün başlangıç adımlarındaki sandalye sayıları arasındaki ilişkiyi inceleme.
1 masa için 8 sandalye, 2 masa için 14 sandalye gerekmektedir.
Masa sayısı arttıkça sandalye sayısının nasıl değiştiğini belirlemek için ilk adımlar analiz edilir.
2
Her adımda eklenen yeni masa ile gelen sandalye artış miktarını hesaplama.
Artış miktarı: 14−8=614 - 8 = 6 sandalyedir.
Eklenen her yeni masa bir öncekiyle ortak bir kenara sahip olduğundan, iki masadan da birer kenar (toplamda 2 kenar) iç bölgede kalır ve sandalye konulamaz. Böylece her yeni masa örüntüye 8−2=68 - 2 = 6 yeni sandalye kazandırır.
3
Masa sayısına bağlı toplam sandalye sayısını veren genel kuralı formüle etme.
nn tane masa için toplam sandalye sayısı formülü: S(n)=8+6×(n−1)=6n+2S(n) = 8 + 6 \times (n - 1) = 6n + 2 olarak bulunur.
İlk masanın 8 sandalyesi üzerine, kalan (n−1)(n-1) masanın her biri için 6 sandalye eklenerek doğrusal örüntü kuralı oluşturulur.
4
6 masa için formülü uygulayarak sonucu hesaplama.
n=6n = 6 için S(6)=6×6+2=38S(6) = 6 \times 6 + 2 = 38 bulunur.
Genel kuralda nn yerine istenen masa sayısı yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Çokgen örüntülerinde çakışan ortak kenarların çevre ve eleman sayısına etkisini belirleme.

İpuçları

1
Masalar yan yana birleştirildiğinde, birbirine değen ortak kenarlara sandalye konulamayacağını dikkate alın.
2
Masa sayısı 1'den 2'ye çıkarken sandalye sayısının kaç arttığına bakın. Sonraki her masa için de aynı miktarda artış olup olmadığını kontrol edin.
3
6 masa yan yana dizildiğinde aralarında 5 adet ortak kenar çifti (birleşme noktası) oluşur. Toplam 48 kenardan bu birleşmeler nedeniyle elenen kenarları çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Aynı mantığı kullanarak, yan yana birleştirilen düzgün altıgen petek örüntülerinde çevreye dahil olmayan iç kenar sayılarını hesaplama çalışmaları yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Masa birleşim noktaları üzerinden hesaplama yapılabilir: 6 masa yan yana dizildiğinde masalar arasında 5 adet ortak temas çizgisi oluşur. Her temas çizgisi, iki farklı masanın da birer kenarını kapattığı için toplamda 5×2=105 \times 2 = 10 kenarın kullanımını engeller. Masalar ayrı olsaydı toplam 6×8=486 \times 8 = 48 sandalye konulabilirdi. Kullanılamayan 10 kenar çıkarıldığında 48−10=3848 - 10 = 38 sandalye yerleştirilebileceği bulunur.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Petek ve Çokgen Örüntüleri

Bu konudan daha fazla soru