Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir \diamond işlemi, her a ve b pozitif tam sa… — ALES

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir $\diamond$ işlemi, her $a$ ve $b$ pozitif tam sayıları için

a \diamond b = \begin{cases} a^2 - 1, & b = 1 \text{ ise} \\ a^2 - b^2 + 2(a \diamond (b-1)), & b > 1 \text{ ise} \end{cases}

şeklinde tanımlanıyor.

Buna göre, $a \diamond 4 = 77$ eşitliğini sağlayan $a$ pozitif tam sayısı kaçtır?

İşlem adımları sırasıyla uygulandığında elde edilen denklem çözülerek

a

sayısı 3 olarak bulunur.

Verilen tanımlar adım adım yerine yazıldığında

a \diamond 4 = 15a^2 - 58

elde edilir. Bu ifade 77'ye eşitlendiğinde

15a^2 = 135

ve buradan

a^2 = 9

bulunur.

a

pozitif bir tam sayı olduğundan, karesi 9 olan sayı 3'tür.

Tanımdan yola çıkarak

b = 1

için

a \diamond 1

değerini

a

cinsinden yazın.

a \diamond 1 = a^2 - 1

Taban durumunu belirlemek ve bir sonraki adımlarda kullanmak için.

b = 2

için

a \diamond 2

ifadesini yazıp adım 1'de bulduğunuz değeri yerine koyun.

a \diamond 2 = a^2 - 4 + 2(a^2 - 1) = 3a^2 - 6

Tanımlanan yinelemeli (rekürsif) ilişkiyi bir adım ileri taşımak için.

b = 3

için

a \diamond 3

ifadesini yazıp adım 2'de bulduğunuz değeri yerine koyun.

a \diamond 3 = a^2 - 9 + 2(3a^2 - 6) = 7a^2 - 21

Yineleme kuralını üçüncü adım için uygulamak.

b = 4

için

a \diamond 4

ifadesini yazıp adım 3'te bulduğunuz değeri yerine koyun.

a \diamond 4 = a^2 - 16 + 2(7a^2 - 21) = 15a^2 - 58

Soruda istenen

a \diamond 4

değerini veren

a

cinsinden cebirsel ifadeyi elde etmek.

Elde edilen

15a^2 - 58

ifadesini soruda verilen 77 değerine eşitleyip denklemi çözün.

15a^2 - 58 = 77 \implies 15a^2 = 135 \implies a^2 = 9 \implies a = 3

a

'nın pozitif tam sayı değerini bulmak.

Yinelemeli (rekürsif) özel tanımlı işlemleri adım adım açarak cebirsel denklemler elde etme ve çözme.

Soru