Examkin

Soru

Zorluk: KolayNoktanın Analitik İncelenmesi

Dik koordinat düzleminde, A(a−5,2a+2)A(a - 5, 2a + 2) noktası koordinat eksenlerine eşit uzaklıktadır.

Bu nokta II. bölgede olduğuna göre, aa kaçtır?

  1. A
    -7
  2. B
    -3
  3. 1Cevap
  4. D
    3
  5. E
    5

Cevap

1
İkinci bölgedeki noktaların apsisleri negatif, ordinatları ise pozitiftir. Bir noktanın eksenlere olan uzaklıkları koordinatlarının mutlak değerlerine eşit olduğundan, uzaklıklar sırasıyla ∣a−5∣=5−a|a-5| = 5-a ve ∣2a+2∣=2a+2|2a+2| = 2a+2 olur. Bu uzaklıkların eşitliğinden 5−a=2a+25-a = 2a+2 denklemi kurulur ve buradan a=1a=1 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Noktanın bulunduğu ikinci bölgenin işaret özelliklerini belirlemek
İkinci bölgedeki bir noktanın apsisi negatif (x<0x < 0), ordinatı ise pozitiftir (y>0y > 0). Buna göre a−5<0⇒a<5a - 5 < 0 \Rightarrow a < 5 ve 2a+2>0⇒a>−12a + 2 > 0 \Rightarrow a > -1 olmalıdır. Dolayısıyla −1<a<5-1 < a < 5 aralığı elde edilir.
Noktanın koordinatlarının işaretlerini tespit etmek ve mutlak değer dışına nasıl çıkacaklarını belirlemek için bölge analizi yapılır.
2
Eksenlere eşit uzaklıkta olma koşulunu mutlak değerle ifade etmek
Bir noktanın xx eksenine uzaklığı ordinatının mutlak değerine (∣y∣|y|), yy eksenine uzaklığı ise apsisinin mutlak değerine (∣x∣|x|) eşittir. Eksenlere eşit uzaklık koşulu: ∣a−5∣=∣2a+2∣|a - 5| = |2a + 2|
Geometrik uzaklık kavramını analitik düzlemde mutlak değer bağıntısına dönüştürmek gerekir.
3
Bölge şartına göre mutlak değerleri açmak
−1<a<5-1 < a < 5 aralığında a−5a - 5 negatif bir değer alacağından ∣a−5∣=5−a|a - 5| = 5 - a olarak çıkar. 2a+22a + 2 ise pozitif olacağından ∣2a+2∣=2a+2|2a + 2| = 2a + 2 olarak çıkar. Denklemimiz: 5−a=2a+25 - a = 2a + 2 halini alır.
Mutlak değerli denklemi çözebilmek için ifadelerin işaretlerine göre mutlak değer işaretinden kurtarılması gerekir.
4
Denklemi çözerek a değerini bulmak
5−a=2a+2⇒3=3a⇒a=15 - a = 2a + 2 \Rightarrow 3 = 3a \Rightarrow a = 1 bulunur. Bulunan bu değer −1<a<5-1 < a < 5 şartını sa��ladığı için geçerlidir.
Bilinmeyen a değişkeninin değerine ulaşmak için cebirsel işlemler tamamlanır.

Anahtar Kavram

Analitik düzlemde bölgeler, koordinat işaretleri ve noktanın koordinat eksenlerine olan uzaklıkları

İpuçları

1
İkinci bölgedeki bir noktanın koordinatlarının işaretlerinin sırasıyla (−,+)(-, +) olduğunu hatırlayın.
2
Bir noktanın koordinat eksenlerine uzaklıkları koordinatlarının mutlak değerlerine eşittir. Bu durumda ∣a−5∣=∣2a+2∣|a - 5| = |2a + 2| eşitliğini kurmalısınız.
3
Nokta ikinci bölgede olduğundan a−5<0a - 5 < 0 ve 2a+2>02a + 2 > 0 koşullarını kullanarak mutlak değerleri dışarı çıkarın ve 5−a=2a+25 - a = 2a + 2 denklemini çözün.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, noktaların koordinat eksenlerine olan uzaklıkları toplamı verildiğinde mutlak değerlerin toplamını inceleyen soruları çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Noktanın ikinci bölgede olduğu bilindiğinden koordinatları A(−x0,y0)A(-x_0, y_0) formatında olmalıdır (burada x0,y0>0x_0, y_0 > 0). Eksenlere eşit uzaklıkta olduğuna göre x0=y0x_0 = y_0 olmalıdır. Buradan −(a−5)=2a+2-(a-5) = 2a+2 yazılarak doğrudan 5−a=2a+2⇒a=15-a = 2a+2 \Rightarrow a=1 sonucuna ulaşılabilir.
Tahmini Süre:1m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Noktanın Analitik İncelenmesi

Bu konudan daha fazla soru