Examkin

Soru

Zorluk: OrtaNoktanın Analitik İncelenmesi

Analitik düzlemde, ikinci bölgede bulunan bir A(a,6)A(a, 6) noktası ile yy ekseni üzerinde bulunan bir B(0,b)B(0, b) noktası verilmektedir. ABAB doğru parçasının orta noktası C(−3,2)C(-3, 2) olduğuna göre, AA ve BB noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

  1. A
    5
  2. B
    8
  3. 10Cevap
  4. D
    12
  5. E
    14

Cevap

A ve B noktaları arasındaki uzaklık 10 birimdir.
Orta nokta formülünden A noktasının apsisi -6, B noktasının ordinatı -2 olarak bulunur. Böylece elde edilen A(-6, 6) ve B(0, -2) noktaları arasındaki uzaklık Pisagor bağıntısı temelli uzaklık formülüyle 10 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Orta nokta formülünü kullanarak a ve b değerlerini bulma
a=−6a = -6 ve b=−2b = -2
C(−3,2)C(-3, 2) noktası ABAB doğru parçasının orta noktası olduğundan, koordinatları A(a,6)A(a, 6) ve B(0,b)B(0, b) noktalarının koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır. Buradan, a+02=−3⇒a=−6\frac{a + 0}{2} = -3 \Rightarrow a = -6 ve 6+b2=2⇒6+b=4⇒b=−2\frac{6 + b}{2} = 2 \Rightarrow 6 + b = 4 \Rightarrow b = -2 bulunur.
2
Bulunan koordinatların bölge ve eksen şartlarına uygunluğunu denetleme
A(−6,6)A(-6, 6) noktası ikinci bölgede, B(0,−2)B(0, -2) noktası ise y ekseni üzerindedir.
A(a,6)=A(−6,6)A(a, 6) = A(-6, 6) noktasının apsisi negatif, ordinatı pozitif olduğu için ikinci bölgededir. B(0,b)=B(0,−2)B(0, b) = B(0, -2) noktasının apsisi sıfır olduğundan y ekseni üzerindedir. Verilen koşullar tam olarak sağlanmaktadır.
3
İki nokta arasındaki uzaklık formülüyle AB uzunluğunu hesaplama
∣AB∣=10|AB| = 10 birim
A(−6,6)A(-6, 6) ve B(0,−2)B(0, -2) noktaları arasındaki uzaklık: ∣AB∣=(0−(−6))2+(−2−6)2=62+(−8)2=36+64=100=10|AB| = \sqrt{(0 - (-6))^2 + (-2 - 6)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 birimdir.

Anahtar Kavram

Orta nokta koordinatları ve iki nokta arasındaki uzaklık formülü
Bu soruyu puanla

Konular

Noktanın Analitik İncelenmesi

Bu konudan daha fazla soru